开发页岩等低渗、特低渗储层的油气时，需对储层进行水力压裂才能投产^[1]。水力压裂过程中，需通过裂缝监测获取压裂裂缝空间分布信息，为储层压裂改造提供参考^[2]。合理的裂缝监测方法可以为油气井未来油气产量提供准确的预测，为压裂施工参数的优化提供数据支持^[3]。现有众多裂缝监测方法中，电磁监测方法由于能够准确描述支撑剂的有效支撑体积而受到研究人员的青睐^[4-6]。当前该领域的研究主要集中在采用基于低频电磁感应的井下测井仪器分析水力压裂裂缝的分布。如Zhang Liming等人^[7]利用单发三收线圈系对水力裂缝的电磁响应进行了建模；Zhai Ying等人^[8]在此基础上利用三维有限元法对圆盘状裂缝进行了正演模拟。虽然上述方法可以通过低频电磁感应法指示裂缝方位信息^[9]，但其监测范围受限于仪器源距，且随着源距增大计算量成倍增长^[10]；同时，超深低渗储层压裂对仪器纵向深度监测能力也提出了更高的要求^[11]，井深加大导致井下检测仪器信号难以实时传输至地面，导致无法及时对压裂作业效果形成反馈。相对而言，大地电磁监测方法的监测范围可从地表延伸至地下数百公里，监测深度大，对低阻体的识别率较高，不易受高阻体屏蔽，且在地面可对压裂结果实时成像^[12-17]，是一种较理想的压裂裂缝监测方法。

为此，笔者基于有限元数值模拟方法，建立了三维直井均匀介质地层裂缝模型，进行了大地电磁监测方法监测裂缝的正演模拟计算，分析了裂缝缝长、缝宽、方位角等对电磁响应特征的影响，为水力压裂裂缝监测及效果评价提供了理论依据。

1.   解析模型

大地电磁监测方法的观测对象是地电场的2个分量（${E}_{x}$和${E}_{y}$）和地磁场的3个分量（${H}_{x}$，${H}_{y}$和${H}_{z}$）^[18]。

式中：${Z}_{xx}\text{，}{Z}_{xy}\text{，}{Z}_{yx}\text{和}{Z}_{yy}$分别为xx，xy，yx和yy方向的阻抗分量，Ω；${T}_{zx}\text{，}{T}_{zy}$分别为zx和zy方向的倾子分量；${H}_{x}\text{，} {H}_{y}$分别为x和y方向的磁场强度分量，A/m；${E}_{x}\text{，}{E}_{y}$分别为x和y方向的电场强度分量，V/m。

电磁场分量之间具有以下关系：

在理想的均匀半空间中，由于一维地质模型只存在纵向变化，因此只有${E}_{x}$和${H}_{y}$这2个分量。由亥姆霍兹方程可得：

式中：$\omega$为角频率，rad/s；$\mu$为磁导率，H/m；$\sigma$为电导率，S/m；$\varepsilon$为介电常数，F/m。

在一维大地电磁正演问题中，任意正交波阻抗模值相等，因此可求得介质电阻率为：

式中：$\rho$为介质电阻率，Ω·m。

以上公式即为大地电磁正演的理论基础，即在理想的均匀半空间中，基于地表上一组相交的电磁分量测量值计算地下电阻率。虽然非均匀空间中的计算结果并非完全准确，但仍可反映一定的变化趋势，因此称之为视电阻率。类似的推导过程可以应用于二维或三维大地电磁正演问题中，最终结论类似。

在此基础上，Swift将阻抗偏移S定义为一种评价大地电磁监测方法数据维度特征的标准^[19]：

若S<0.3，则表示数据具有一维或二维特征，反之则具有三维特征。

2.   正演模型构建

2.1   模型结构与参数设置

应用大地电磁监测方法进行压裂监测时，通常采用异常电性支撑剂。压裂液返排后，由于支撑剂滞留在裂缝之中，裂缝成为地下电磁异常体，因此可以通过电磁监测手段对压裂裂缝进行诊断^[7]。以直井水力压裂形成的裂缝网络区域为模拟研究对象，为了更贴近油田生产实际，降低模拟计算复杂度，将压裂裂缝近似等效为水平长方体薄层。

构建模型研究区域为1 km×1 km×1 km立体地层，从上到下依次为3种不同电阻率的水平层状地层，中间层为水力压裂裂缝的目标储层。压裂裂缝为长方体水平薄层，裂缝中心点位于井筒垂直线上。大地电磁监测仪器布置于井筒周围500 m×500 m的正方形区域内。将入射平面波分解，沿X轴、Y轴两方向进行垂直极化，其中磁矢量沿Y轴方向称为XY模式，沿X轴方向称为YX模式，模型结构如图1所示。

图  1  大地电磁法监测水力压裂裂缝模型示意

Figure  1.  Model for hydraulic fracture monitoring by magnetotelluric method

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初始模型参数设置如下：水力压裂裂缝产生于井下150.00 m处，其长、宽、高分别为200.00，75.00和0.01 m，即裂缝沿X轴走向，方位角为0°。裂缝流体的电阻率${\rho }_\text{f}$为1×10⁻⁴ Ω·m^[8]，顶部和底部地层的电阻率${\rho }_\text{s1}$和${\rho }_\text{s2}$均为10 Ω·m，中间储层的电阻率${\rho }_\text{r}$为100 Ω·m。X轴、Y轴方向极化磁场强度均为1×10³ A/m。

在实际压裂作业中，地面压裂车所施加压力可使压裂裂缝延伸至几百米开外，而由支撑剂撑起的裂缝高度至多数毫米，两者尺度差异巨大决定了无法按照常规准则剖分裂缝结构。网格划分不够精确会导致几何细节丢失，造成数值求解精度降低甚至得不到唯一解；但若严格追求几何细节精度，则又会增加大量计算时间，给计算机带来内存压力^[20]。鉴于以上问题，将裂缝近似等效为一个平面，并在边界面处采用过渡边界条件进行等效处理^[21]。

3.   裂缝参数影响分析

3.1   裂缝缝长敏感性分析

将初始模型裂缝缝长$l$分别设置为100，200和300 m，其余参数不变。以阻抗偏移作为观测指标，当频率为1 Hz时模型正演结果如图2所示。

图  2  1 Hz时不同裂缝长度下的地面阻抗偏移

Figure  2.  Ground impedance offset under different fracture lengths at 1 Hz

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从图2可以看出：阻抗偏移在X轴和Y轴零刻度的位置具有明显的分界线，平面也因此被等分为4个子区域，并且呈现中心对称关系；在4个子区域内，阻抗偏移由内到外逐渐减小，4个子区域的峰值区基本框定了低阻异常体在X和Y向的边界。随着裂缝缝长逐渐增加，以Y轴为分界线的2部分峰值区域中心逐渐远离，而以X轴为分界线的2部分峰值区域中心间隔保持不变。除此之外，各子区域内的峰值区随着裂缝缝长增加而在X轴方向逐渐向外扩张，但分界线的位置始终不变。

3.2   裂缝缝宽敏感性分析

将初始模型裂缝缝宽$w$分别设置为100，200和300 m，缝长$l$设置为75 m，其余参数不变。以阻抗偏移作为观测指标，当频率为1 Hz时模型正演结果如图3所示。

图  3  1 Hz时不同裂缝宽度下的地面阻抗偏移

Figure  3.  Ground impedance offset under different fracture widths at 1 Hz

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从图3可以看出：阻抗偏移随着裂缝缝长逐渐增加，以X轴为分界线的2部分峰值区域中心逐渐远离，而以Y轴为分界线的2部分峰值区域中心间隔保持不变；各子区域内的峰值区在Y轴方向逐渐向外扩张，但分界线的位置始终不变。

结合对缝长、缝宽的敏感性分析可知，可通过阻抗偏移判断裂缝尺寸。阻抗偏移4个子区域的峰值中心位置框定了低阻异常体在X和Y向的边界，通过比较子区域峰值中心X向、Y向的距离，可以判断裂缝的缝长和缝宽。

3.3   裂缝缝高敏感性分析

将初始模型裂缝缝高h分别设置为0.01，0.10和1.00 cm，其余参数不变。以阻抗偏移作为观测指标，当频率为1 Hz 时模型正演结果如图4所示。

图  4  1 Hz时不同裂缝高度下的地面阻抗偏移

Figure  4.  Ground impedance offset under different fracture heights at 1 Hz

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从图4可以看出，大地电磁监测方法对于缝高变化并不敏感，其主要原因在于，相对于几十米至几百米的裂缝缝长与缝宽，由支撑剂撑开的缝高多为毫米或厘米级，即使可采用过渡边界条件保证计算效率，但巨大的尺度差异仍导致现有监测指标无法较好地反映缝高变化。

3.4   裂缝方位角敏感性分析

将初始模型裂缝方位角$\theta$分别设置为0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°和150°，其余参数不变。以阻抗偏移作为观测指标，当频率为1 Hz时模型正演结果如图5所示。

图  5  不同裂缝方位角下阻抗偏移

Figure  5.  Impedance offset and apparent resistivity under different fracture azimuth angles

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从图5可以看出，阻抗偏移在裂缝旋转后，原呈中心对称的异常区域也会旋转一定角度，但并不会发生扭曲形变。即使在旋转后，4个子区域的中心位置仍然框定了低阻异常体边界，且各子区域分界线明显，因此判断裂缝缝长和缝宽的方法依然适用。除此之外，阻抗偏移整体旋转的角度与裂缝方位角$\theta$的数值几乎相同，借助分界线可较为清晰地判断裂缝方位角。

4.   结论与建议

1）使用过渡边界条件，直井大地电磁法水力压裂裂缝监测模型可以有效解决裂缝的多尺度问题，正演模拟结果对于识别裂缝形态具有一定的参考价值，可为后期相关仪器的研制、信息采集和数据处理解释提供指导。

2）阻抗偏移能以不同的方式反映除缝高以外的裂缝参数的变化，尤其对裂缝方位角具有较好的区分度。

3）目前仅对直井进行了单一裂缝的模拟，未涉及多段多簇压裂与水平井压裂的相关内容，后续可在此基础上开展深入研究。