特深井钻柱动力学特性模拟与分析

狄勤丰; 尤明铭; 李田心; 周星; 杨赫源; 王文昌

doi:10.11911/syztjs.2024029

特深井钻柱动力学特性模拟与分析

上海大学力学与工程科学学院，上海 200444

基金项目: 国家自然科学基金面上项目“考虑隔水管耦合作用的超深水超深曲井钻柱动力学研究”（编号：52174003）、国家自然科学基金石油化工联合基金重点项目“超深井钻柱非线性动力学及动态安全性基础理论研究”（编号：U1663205）和国家自然科学基金面上项目“特深井‘钛–钢’复合钻柱动态安全性及异型材质接头失效机理研究”（编号：52374008）资助。

详细信息

作者简介:
狄勤丰（1963—），男，江苏溧阳人，1984年毕业于华东石油学院钻井工程专业，1987年获华东石油学院油气井工程专业硕士学位，1997年获西南石油学院油气井工程专业博士学位，教授，主要从事石油工程技术及相关力学问题的研究工作。系本刊编委。E-mail: qinfengd@sina.com

通讯作者:
王文昌，wenchangwang@163.com

中图分类号: TE21
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出版历程
- 收稿日期: 2023-12-11
- 修回日期: 2024-02-14
- 网络出版日期: 2024-04-11
- 刊出日期: 2024-04-02

Simulation and Analysis of Dynamic Characteristics of Drilling String in Extra-Deep Wells

School of Mechanics and Engineering Science, Shanghai University, ShangHai 200444

摘要

摘要:
随着钻井深度不断增加，钻柱运动所涉及的力学问题变得更加复杂，钻柱动力学特性模拟及分析可为安全优质高效钻井提供支撑。为了探求特深井钻柱的运动特性，将钻柱运动的控制方程采用Newmark法对时间离散后，运用SOR节点迭代法，对每一时间步的钻柱整体构形进行求解，实现了总长超9 000 m的钻柱动力学特性模拟，不仅给出了钻柱4个典型位置的涡动轨迹、涡动速度和横向加速度，还分析了钻柱的粘滑特性。分析结果表明，上部钻柱的涡动及粘滑现象不明显；随着位置下移，出现不规则涡动及不充分粘滑现象；近钻头位置的钻柱会出现较剧烈涡动，也会出现粘滑振动；中性点位置处钻柱的涡动最为剧烈、碰摩严重，可能给钻柱带来安全隐患。研究结果为特深井安全钻井提供了理论依据。
- 特深井 /
- 钻柱动力学 /
- SOR节点迭代法 /
- 涡动 /
- 粘滑
Abstract:
As drilling depths increase, the mechanical problems involved in drilling string motion become more complicated. The simulation and analysis of dynamic characteristics of drilling strings could contribute to safe, high-quality, and efficient drilling. In order to explore the motion characteristics of drilling strings in extra-deep wells, the governing equation of drilling string motion was time-discretized using the Newmark method, and the successive over-relaxation (SOR) node iteration method was used to solve the entire configuration of the drilling string at each time step. The dynamic characteristics of the drilling string with a total length of over 9 000 m were simulated. The whirl trajectory, whirl velocity, and lateral acceleration of the drilling string at four typical positions were given. The whirl and stick-slip characteristics of the drilling string were also analyzed. The results demonstrate that the whirl and stick-slip phenomena in the upper part of the drilling string are not obvious and that as the position moves down, irregular whirl and insufficient stick-slip phenomena appear, and the drilling string near the bit may experience violent whirl and stick-slip vibration. The drilling string near the neutral point has the most violent whirls and serious friction, which may bring potential safety risks to the drilling string. The research results can provide theoretical basis for the safe drilling of extra-deep wells.
- extra-deep well /
- drill string dynamics /
- SOR node iteration method /
- whirl /
- stick-slip

HTML全文

随着油气勘探开发转向深层、超深层，超深井（井深6 000～9 000 m）、特深井（井深大于9 000 m）数量越来越多^[1–7]。“十三五”期间，我国6 000～8 000 m超深井的完钻数量首次超过美国，已完钻的8 000 m以上超深井90余口，如轮探1井（完钻井深8 882 m，2019年亚洲最深直井纪录，该深度值超过珠穆朗玛峰高度）、蓬深6井（完钻井深9 026 m，2023年亚洲最深直井纪录）、果勒3C井（完钻井深9 396 m，2023年亚洲最深水平井纪录，垂深超过了9 000 m）等，并在塔里木盆地、四川盆地开钻了2口超万米的特深井（深地塔科1井和深地川科1井），设计完钻井深分别达到11 100 m和10 520 m^[8]。虽然我国深层钻井技术发展迅速，但面临着深部地层信息不确定性强、钻井井下故障和复杂情况多、井喷风险大等严峻挑战，主要原因之一在于缺乏有效的钻井工程三维仿真模拟及分析手段^[9]。

在众多钻井工程三维仿真模拟技术中，钻柱动力学模拟是重点关注的内容之一，原因在于钻柱的动力学特性与钻井效率及钻柱安全性密切相关。钻柱动力学涉及多个物理过程，包括钻头与地层的相互作用^[10–12]、钻柱与井筒的碰撞摩擦^[13–14]、钻井液的流动等^[15]。建模时，还需要确定各种参数，如阻尼系数^[16–17]、摩擦系数^[18–19]等。钻柱动力学模拟通常需要进行大型计算，并且具有多个物理量耦合和强非线性的特点，计算复杂度较高。目前，已有多位学者开展了超深井钻柱动力学特性模拟和分析研究工作^[20–25]，其中，胡以宝等人^[26]使用节点迭代法，成功实现了超7 000 m长钻柱动力学特性的模拟，并将其应用于塔里木油田超深井钻柱动态安全性评价和作业参数优化设计中。但是，至今未见关于特深井全井钻柱动力学特性模拟的报道。因此，笔者使用SOR节点迭代法，进行了总长超9 000 m的钻柱力学特性动态模拟，并对其涡动和粘滑特性进行分析，以期为特深井钻柱安全提供理论依据。

1. 钻柱动力学有限元模型

钻柱在充满钻井液的狭长井眼中运动，不仅受到驱动扭矩、大钩载荷、重力、液体阻力、钻头–岩石的相互作用力、钻柱偏心质量引起的离心力的影响，而且会与井壁产生不规律碰撞摩擦，受力状态十分复杂。实际钻井时，钻柱的运动状态包括轴向、横向、扭转3种基础振动以及三者之间的耦合振动。为此，钻柱动力学特性研究面临高难度的挑战，而仿真分析是研究钻柱动力学特性，尤其是特深井钻柱动力学特性的有效方法。

1.1 基本假设

分析钻柱动力学特性时，一般作以下假设^[27–29]：1）钻柱的变形为小变形；2）将钻柱视为三维弹性梁单元；3）井眼截面为圆形；4）忽略钻柱接头的影响；5）忽略钻柱横向力产生的剪切应变的影响；6）忽略钻井液流动对钻柱运动的影响。

1.2 坐标系

为便于描述钻柱在井下的运动状态，需要建立2个坐标系。整体坐标系 $OXYZ$ ：原点在井口中心， $X$ 轴垂直向下， $Y$ 轴指向北， $Z$ 轴指向东，如图1所示；局部坐标系 $oxyz$ ：原点位于井眼轴线上， $x$ 轴与井眼轴线相切（指向井底方向）， $y$ 轴指向井眼高边， $z$ 轴用右手法则确定，如图2所示。

图 1 局部坐标系

Figure 1. Local coordinate system

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图 2 单元坐标系

Figure 2. Element coordinate system

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1.3 钻柱动力学有限元模型

笔者采用有限元方法，将连续钻柱离散为Euler-Bernoulli梁单元。钻柱运动的控制方程可表示为：

${\boldsymbol{M\ddot U + C\dot U + KU = F}}$

(1)

$其中\qquad\qquad\qquad \;\;\;\boldsymbol{M}={\boldsymbol{M}}_{1}+{\boldsymbol{M}}_{2}$

(2)

$\boldsymbol{K}={\boldsymbol{K}}_{\text{l}}+{\boldsymbol{K}}_{\text{n}}$

(3)

${\boldsymbol{K}}_{\text{n}}={\boldsymbol{K}}_{\text{n}1}+{\boldsymbol{K}}_{\text{n}2}+{\boldsymbol{K}}_{\text{n}3}$

(4)

式中： $\boldsymbol{M}$ 为质量矩阵； $\boldsymbol{C}$ 为阻尼矩阵； $\boldsymbol{K}$ 为刚度矩阵； $\boldsymbol{F}$ 为外力矩阵； $\ddot{\boldsymbol{U}}$ 为广义加速度； $\dot{\boldsymbol{U}}$ 为速度； $\boldsymbol{U}$ 为位移； ${\boldsymbol{M}}_{1}$ 为包含三轴平动及绕 $x$ 轴转动的惯性质量矩阵； ${\boldsymbol{M}}_{2}$ 为包含绕 $y\mathrm{、} z$ 轴转动的惯性质量矩阵； $\boldsymbol{K}\mathrm{_{\boldsymbol{l}}}$ 为线性刚度矩阵； $\boldsymbol{K}\mathrm{_n}$ 为非线性刚度矩阵； $\boldsymbol{K}_{\mathrm{n}1}$ 为轴向力和弯矩耦合作用下的非线性刚度矩阵； $\boldsymbol{K}_{\mathrm{n}2}$ 为轴向力和扭矩耦合作用下的非线性刚度矩阵； $\boldsymbol{K}_{\mathrm{n}3}$ 为扭矩和弯矩耦合作用下的非线性刚度矩阵。

钻柱运动的阻尼矩阵 $\boldsymbol{C}$ 一般用Rayleigh阻尼来表示，其表达式为：

$\boldsymbol{C}={\alpha }_{\mathrm{r}}\boldsymbol{M}+{\beta }_{\mathrm{r}}\boldsymbol{K}$

(5)

式中： $\alpha\mathrm{_r}$ 和 $\beta\mathrm{_r}$ 为阻尼系数，可由钻柱系统的固有频率及对应的阻尼比确定，一般情况下，可包含钻井液的等效阻尼。

1.4 边界条件及约束

钻柱上端井口处横向为铰支边界，受地面驱动系统提供的扭矩作用，轴向由弹簧连接；下端钻头处横向为铰支边界，受扭矩作用，轴向自由并受地层的作用（钻压的反作用力），钻头与岩石相互作用形成轴向和扭矩激励。

钻压W_b随时间 $t$ 变化的表达式为：

$W_{\text{b}}(t)=W_{\text{bd}}+K_{\text{f}}d\mathrm{sin}\left(2\text{π}n_{\text{b}}f_{\text{b}}t\right)$

(6)

式中：W_b钻压，N；W_bd为平均钻压，N；K_f为地层刚度，N/m； $d$ 为钻头旋转一周的切削深度，m； ${n_{\text{b}}}$ 为钻头的刀翼数（PDC钻头）或牙轮个数（牙轮钻头）；f_b为钻压波动频率，Hz。

钻头受到的摩阻力矩可表示为：

$T_{\text{b}}(t)=\frac{1}{3}r_{\text{h}}\mu_{\text{f}}W_{\text{b}}(t)=\frac{1}{3}r_{\text{h}}\mu_{\text{f}}\left[W_{\text{bd}}+K_{\text{f}}d\mathrm{sin}\left(2\text{π}n_{\text{b}}f_{\text{b}}t\right)\right]$

(7)

式中：T_b（t）为钻头在t时刻受到的摩阻力矩，N·m；r_h为井眼半径，m；μ_f为钻头与井壁的动摩擦系数。

另外，钻柱还受到井壁的约束作用。当钻柱形心的横向位移大于钻柱与井壁的环空间隙时，视其与井壁发生碰撞，笔者采用Hertz接触理论建立碰撞模型，如图3所示。径向接触力 ${F}_{r}$ 、切向摩擦力 ${F}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ 和摩阻力矩 ${T}_{{\mathrm{f}}}$ 可表示为：

图 3 碰撞模型

Figure 3. Collision model

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${F_{\mathrm{r}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {K_{\text{h}}}({r_{{\text{io}}}} + {r_{\text{i}}} - {r_{\text{h}}})}&{{r_{{\text{io}}}} \geqslant {r_{\text{h}}} - {r_{\text{i}}}} \\ 0&{{r_{{\text{io}}}} < {r_{\text{h}}} - {r_{\text{i}}}} \end{array}} \right.$

(8)

$F_{\text{tan}}=-\mu_{\text{h}}F_{\mathrm{r}}\text{sgn}\mathit{\Omega}$

(9)

${T_{\mathrm{f}}} = {F_{\text{tan}}}{r_{\text{i}}}$

(10)

式中： ${F}_{{\mathrm{r}}}$ 为径向接触力，N； ${F}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ 为切向摩擦力，N； ${T}_{{\mathrm{f}}}$ 为摩阻力矩，N·m； $K_{\mathrm{h}}$ 为井壁刚度，N/m； ${r}_{\mathrm{i}\mathrm{o}}$ 为钻柱形心的横向位移，m； ${r}_{\mathrm{i}}$ 为钻柱外半径，m； ${\mu }_{\mathrm{h}}$ 为钻柱与井壁的动摩擦系数； $\mathit{\Omega}$ 为钻柱相对于井壁的转动速度，rad/s。

2. 求解方法

2.1 Newmark法

Newmark法是研究动力学问题的一种时间积分算法，用于对时间域进行离散处理，可将位移关于时间的二阶常微分方程组转化为离散时间点上关于位移的代数方程组^[30]。

钻柱在任意时刻 $t$ 的运动控制方程为：

${\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{\ddot U}}_t}{\boldsymbol{ + C}}{{\boldsymbol{\dot U}}_t}{\boldsymbol{ + K}}{{\boldsymbol{U}}_t}{\boldsymbol{ = }}{{\boldsymbol{F}}_t}$

(11)

Newmark法对 $t+\Delta t$ 时刻的速度 ${\dot{\boldsymbol{U}}}_{t+\Delta t}$ 和位移 ${\boldsymbol{U}}_{t+\Delta t}$ 有如下假设：

${{\boldsymbol{\dot U}}_{t + \Delta t}} = {{\boldsymbol{\dot U}}_t} + [(1 - \alpha ){{\boldsymbol{\ddot U}}_t} + \alpha {{\boldsymbol{\ddot U}}_{t + \Delta t}}]\Delta t$

(12)

${{\boldsymbol{U}}_{t + \Delta t}} = {{\boldsymbol{U}}_t} + {{\boldsymbol{\dot U}}_t}\Delta t + \left[\left(\frac{1}{2} - \beta \right){{\boldsymbol{\ddot U}}_t} + \beta {{\boldsymbol{\ddot U}}_{t + \Delta t}}\right]\Delta {t^2}$

(13)

式中： $\alpha$ 和 $\beta$ 为权重参数。

由式（12）和式（13）可得：

${{\boldsymbol{\ddot U}}_{t + \Delta t}} = \frac{1}{{\beta \Delta {t^2}}}({{\boldsymbol{U}}_{t + \Delta t}} - {{\boldsymbol{U}}_t}) - \frac{1}{{\beta \Delta t}}{{\boldsymbol{\dot U}}_t} - \left(\frac{1}{{2\beta }} - 1\right){{\boldsymbol{\ddot U}}_t}$

(14)

${{\boldsymbol{\dot U}}_{t + \Delta t}} = \frac{\alpha }{{\beta \Delta t}}({{\boldsymbol{U}}_{t + \Delta t}} - {{\boldsymbol{U}}_t}) - \left(\frac{\alpha }{\beta } - 1\right){{\boldsymbol{\dot U}}_t} - \left(\frac{1}{{2\beta }} - 1\right){{\boldsymbol{\ddot U}}_t}\Delta t$

(15)

将式（14）和式（15）代入式（11），整理得：

$\begin{split} ({\lambda _1}{\boldsymbol{M}} + {\lambda _4}{\boldsymbol{C}} + {\boldsymbol{K}})&{{\boldsymbol{U}}_{t + \Delta t}} = {{\boldsymbol{F}}_{t + \Delta t}} + {\boldsymbol{M}}({\lambda _1}{{\boldsymbol{U}}_t} + {\lambda _2}{{\boldsymbol{\dot U}}_t} + {\lambda _3}{{\boldsymbol{\ddot U}}_t}) +\\ &{\boldsymbol{C}}({\lambda _4}{{\boldsymbol{U}}_t} + {\lambda _5}{{\boldsymbol{\dot U}}_t} + {\lambda _6}{{\boldsymbol{\ddot U}}_t})\\[-1pt] \end{split}$

(16)

式中： ${\lambda }_{1}=\dfrac{1}{\beta {\Delta t}^{2}}$ ； ${\lambda }_{2}=\dfrac{1}{\beta \Delta t}$ ； ${\lambda }_{3}=\dfrac{1}{2\beta }-1$ ； ${\lambda }_{4}=\dfrac{\alpha }{\beta \Delta t}$ ； ${\lambda }_{5}=\dfrac{\alpha }{\beta }-1$ ； ${\lambda }_{6}=\left(\dfrac{1}{2\beta }-1\right)\Delta t$ 。

根据 $t$ 时刻的位移 ${\boldsymbol{U}}_{t}$ 、速度 ${\dot{\boldsymbol{U}}}_{t}$ 、加速度 ${\ddot{\boldsymbol{U}}}_{t}$ 及 $t+\Delta t$ 时刻的外力 ${\boldsymbol{F}}_{t+\Delta t}$ ，由式（16）可求得 $t+\Delta t$ 时刻的位移 ${\boldsymbol{U}}_{t+\Delta t}$ ，进而可由式（14）和式（15）求得速度 ${\dot{\boldsymbol{U}}}_{t+\Delta t}$ 和加速度 ${\ddot{\boldsymbol{U}}}_{t+\Delta t}$ 。由此，任意时刻的运动状态均可由初始构形求得。

2.2 节点迭代法

采用Newmark法对时间域离散后，使用节点迭代法对每一时刻的位移进行求解。节点迭代法的计算思路如图4所示。

图 4 节点迭代法示意

Figure 4. Node iteration method

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节点迭代法以2单元3节点为最小计算单元，假设第 $i-1$ 节点和第 $i+1$ 节点位移为准确值，根据局部力学平衡原理计算得到第 $i$ 节点的位移，再由第 $i$ 节点的位移和第 $i+2$ 节点的位移计算第 $i+1$ 节点的位移，以此类推。其中，关于第 $i$ 节点的平衡方程可表示为：

${{\boldsymbol{F}}_i} = [\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{K}}_{i,i - 1}}}&{{{\boldsymbol{K}}_{i,i}}}&{{{\boldsymbol{K}}_{i,i + 1}}} \end{array}]{[\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_{i - 1}}}&{{{\boldsymbol{U}}_i}}&{{{\boldsymbol{U}}_{i + 1}}} \end{array}]^{\text{T}}}$

(17)

第 $i$ 节点的位移：

${{\boldsymbol{U}}_i} = {{\boldsymbol{K}}_{i,i}}^{ - 1}[{\boldsymbol{F}} - ({{\boldsymbol{K}}_{i,i - 1}}{{\boldsymbol{U}}_{i - 1}} + {{\boldsymbol{K}}_{i,i + 1}}{{\boldsymbol{U}}_{i + 1}})]$

(18)

在得到第 $i$ 节点的位移后，还需判断该节点是否与井壁接触。若接触，则根据Hertz接触模型^[31]在该节点的外力 ${\boldsymbol{F}}_{i}$ 上加入相应的接触力和接触力矩，以保证节点处钻柱不穿透井壁。

由钻柱最上端节点开始遍历所有单元至钻柱最下端节点，再由钻柱最下端节点开始向上计算至最上端节点，称为1个迭代步。经过有限次迭代后，结果趋于稳定，即认为得到钻柱在该时刻的稳定整体构形。

2.3 超松弛迭代法

然而，节点迭代法以其逐步逼近精确解的特点，导致收敛速度随着迭代次数增加而减慢。在Matlab编程语言平台上，模拟7 000 m超长钻柱动力学特性的迭代计算时间接近8 h。因此，迫切需要寻找一种在保证准确性的同时提高计算效率的迭代加速方法。

超松弛（successive over relaxation，SOR）迭代法是一种迭代收敛优化方法。针对节点迭代法收敛速度慢的问题，笔者将SOR迭代法与节点迭代法结合（以下简称SOR节点迭代法），对迭代计算过程进行加速。

由2.1节可知，要得到钻柱在一段时间内的动力学响应，关键在于求解时间离散点上关于位移的代数方程式（16），该式可改写为：

${{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}_{t + \Delta t}}{{\boldsymbol{U}}_{t + \Delta t}} = {{{\tilde {\boldsymbol{F}}}}_{t + \Delta t}}$

(19)

式中： ${\stackrel{～}{\boldsymbol{K}}}_{t+\Delta t}$ 为等效刚度矩阵，N/m； ${\stackrel{～}{\boldsymbol{F}}}_{t+\Delta t}$ 为等效外力矩阵，N。

${{\boldsymbol{\tilde K}}_{t + \Delta t}} = ({\lambda _1}{\boldsymbol{M}} + {\lambda _4}{\boldsymbol{C}} + {\boldsymbol{K}})$

(20)

$\begin{split} {{{\tilde {\boldsymbol{F}}}}_{t + \Delta t}} =& {{\boldsymbol{F}}_{t + \Delta t}} + {\boldsymbol{M}}({\lambda _1}{{\boldsymbol{U}}_t} + {\lambda _2}{{\boldsymbol{\dot U}}_t} + {\lambda _3}{{\boldsymbol{\ddot U}}_t}) +\\ &{\boldsymbol{C}}({\lambda _4}{{\boldsymbol{U}}_t} + {\lambda _5}{{\boldsymbol{\dot U}}_t} + {\lambda _6}{{\boldsymbol{\ddot U}}_t}) \end{split}$

(21)

可将式（19）视为一个形如 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的线性方程。在钻柱动力学模型中， $\boldsymbol{A}$ 为大型稀疏矩阵，非零元素沿矩阵主对角线呈带状分布。针对 $\boldsymbol{A}$ 中有大量零元素的特点，迭代法可以减少计算机的内存消耗。

节点迭代法的数学本质为Gauss-Seidel迭代法。SOR迭代法是Gauss-Seidel迭代法的一种改进方法，加入了松弛因子 $\omega$ ，可加快迭代计算的收敛速度^[32]。

对于线性方程 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ ，假设已知其第 $k$ 次迭代的向量 ${\boldsymbol{x}}^{\left(k\right)}$ 及第 $k+1$ 次迭代的向量分量 ${{\boldsymbol{x}}_{j}}^{\left(k+1\right)}(j= \mathrm{1,2}, \dots , i-1)$ ，向量分量 ${{\boldsymbol{x}}_{j}}^{\left(k+1\right)}$ 的计算可分为以下2步：

1）先由Gauss-Seidel迭代法定义辅助量 ${{\bar{\boldsymbol{x}}}_{j}}^{(k+1)}$ ：

$\begin{split} {\boldsymbol{\bar x}}_j^{(k + 1)} =& \frac{1}{{{a_{ii}}}}\left({b_i} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{a_{ij}}} {\boldsymbol{x}}_j^{(k + 1)} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{a_{ij}}} {\boldsymbol{x}}_j^{(k)}\right)\\ &i = 1,2,...,n \end{split}$

(22)

式中： ${a}_{ii}$ 和 ${a}_{ij}$ 为系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中所对应的元素； ${b}_{i}$ 为常数项矩阵 $\boldsymbol{b}$ 中所对应的元素。

2）再由 ${{\boldsymbol{x}}_{j}}^{\left(k\right)}$ 和 ${{\bar{\boldsymbol{x}}}_{j}}^{\left(k+1\right)}$ 的加权平均定义 ${{\boldsymbol{x}}_{j}}^{\left(k+1\right)}$ ：

${\boldsymbol{x}}_j^{(k + 1)} = {\boldsymbol{x}}_j^{(k)} + \omega ({\boldsymbol{\bar x}}_j^{(k + 1)} - {\boldsymbol{x}}_j^{(k)})$

(23)

式中： $\omega$ 为松弛因子， $\omega \in \left(\mathrm{0,2}\right)$ 。

当 $0 < \omega < 1$ 时，式（23）称为低松弛迭代法；当 $\omega =1$ 时，式（23）称为Gauss-Seidel迭代法；当 $1 < \omega < 2$ 时，式（23）称为超松弛（SOR）迭代法。 $\omega$ 会影响收敛性和迭代速度，因此SOR方法的关键在于选择合适的松弛因子 $\omega$ 。然而，松弛因子的选择需要试验和一定的经验， $\omega$ 的最优值因问题而异。有关SOR迭代法的收敛性证明可参考文献[33]，此处不再赘述。SOR节点迭代法的计算流程见图5。

图 5 SOR节点迭代法的计算流程

Figure 5. Calculation flowchart of SOR node iteration method

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2.4 算例验证

为检验SOR节点迭代法的准确性，以水平放置的中空固支梁为例（忽略其自重的影响），梁中点处受力 $\boldsymbol{F}$ 的作用（见图6）。模型参数为：固支梁总长20.00 m，单元长度1.00 m，外径177.8 mm，内径71.4 mm，密度7 850 kg/m³，弹性模量201 GPa，外力 $\boldsymbol{F}$ 为5 kN。迭代终止精度 $\delta \$ 取10^－8，SOR节点迭代法的松弛因子 $\omega \$ 取1.90。SOR节点迭代法计算结果与解析解的对比如图7所示。

图 6 固支梁模型示意

Figure 6. Fixed beam model

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图 7 SOR节点迭代法计算结果与解析解的对比

Figure 7. Comparison of SOR node iteration calculation results and analytical solutions

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从图7可以看出：根据材料力学相关理论求得最大挠度处位移的解析解为21.66 mm；SOR节点迭代法得到的结果为21.69 mm，相对误差为0.14%，在可接受范围内。通过比较SOR节点迭代法和解析解的结果及其误差，认为SOR节点迭代法在实际工程应用中具有足够的准确性。

3. 特深井钻柱动态特性分析

3.1 基本参数

某油田实际钻具组合为ϕ241.3 mm PDC钻头×0.30 m+ϕ177.8 mm（71.4 mm）钻铤×18.00 m +ϕ241.3 mm（71.4 mm）稳定器×1.80 m+ϕ177.8 mm（71.4 mm）钻铤×9.00 m+ϕ241.3 mm（71.4 mm）稳定器×1.80 m+ϕ177.8 mm（71.4 mm）钻铤×123.00 m+ϕ139.7 mm（92.1 mm）加重钻杆×142.00 m+ϕ139.7 mm（121.4 mm）钻杆×3 310.00 m+ϕ149.3 mm（129.9 mm）钻杆×5 797.00 m，括号中尺寸为内径。钻柱总长9 402.90 m，井斜角0.5°。计算用到的钻井参数：转速90 r/min，钻压120 kN，钻井液密度1 800 kg/m³。动力学计算中Newmark参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别取0.50和0.25。计算60 s时长对应的钻柱动力学响应，时间步长为0.02 s。SOR节点迭代法计算时的松弛因子 $\omega$ 取1.90，迭代终止精度 $\delta$ 取10^－6。

笔者选取钻柱4个代表位置处的动态特性进行分析：A点位于井深9.00 m处（靠近井口）；B点位于井深4 697.00 m处（全井钻柱中点附近）；C点位于井深9 394.00 m处（钟摆段中点）；D点位于井深9 261.00 m处（钻柱中性点附近）。

3.2 特深井钻柱涡动特性分析

钻柱的涡动是指钻柱在沿轴向向下运动（钻进）的同时绕井眼轴线所做的公转运动，包括规则涡动和不规则涡动2类。涡动引起的横向振动会给钻柱施加额外的惯性力，加剧钻柱的疲劳破坏，使其使用寿命缩短。当钻柱涡动半径等于钻柱与套管的环空间隙时，钻柱与套管会发生碰撞，导致两者相互磨损，甚至发生套管脱落等事故。因此，在特深井钻井过程中需要特别关注钻柱的涡动特征。

钻柱A点、B点、C点和D点在30～60 s时间段内的涡动轨迹、涡动速度及横向加速度如图8—图19所示。

图 8 A点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 8. Whirl trajectory of drilling string centroid at position A

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图 9 A点处钻柱形心的涡动速度

Figure 9. Whirl velocity of drilling string centroid at position A

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图 10 A点处钻柱形心的横向加速度

Figure 10. Lateral acceleration of drilling string centroid at position A

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图 11 B点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 11. Whirl trajectory of drilling string centroid at position B

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图 12 B点处钻柱形心的涡动速度

Figure 12. Whirl velocity of drilling string centroid at position B

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图 13 B点处钻柱形心的横向加速度

Figure 13. Lateral acceleration of drilling string centroid at position B

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图 14 C点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 14. Whirl trajectory of drilling string centroid at position C

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图 15 C点处钻柱形心的涡动速度

Figure 15. Whirl velocity of drilling string centroid at position C

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图 16 C点处钻柱形心的横向加速度

Figure 16. Lateral acceleration of drilling string centroid at position C

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图 17 D点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 17. Whirl trajectory of drilling string centroid at position D

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图 18 D点处钻柱形心的涡动速度

Figure 18. Whirl velocity of drilling string centroid at position D

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A点处钻柱受地面驱动系统横向位移约束的影响较大，且承受了较大的拉力，因此该点处的钻柱呈现出“紧绷”状态。从图8—图10可以看出：A点处钻柱的涡动轨迹主要集中在井眼轴线周围，未与井壁发生碰撞，涡动速度比较稳定，均值为3.9 r/min，总体呈现出较为规则的正向涡动；横向加速度均值为0.1g，最大为3.6g，运动较为平稳。

由图11—图13可知：B点处钻柱的不规则涡动特征明显，涡动轨迹布满整个井眼，并多次与井壁发生碰撞；涡动速度波动剧烈，大部分在−63.5～89.9 r/min，正向涡动与反向涡动无规则交替变化；横向加速度均值为0.2g，最大为9.7g。

C点距钻头较近，该点处钻柱不仅承受较大的轴向压力，还受到钻头激励的影响，但是由于上下稳定器对横向位移的限制，其涡动轨迹较为居中，钻柱很少与井壁发生碰撞（见图14）。由于该点处钻柱受力特征复杂，其涡动速度波动最为剧烈，最大瞬时涡动速度为363.4 r/min，为地面转速的4倍多，正反涡动交替频繁（见图15）。横向加速度均值为1.6g，最大为7.8g（见图16）。

D点处的钻柱位于中性点附近，该处钻柱受轴向力影响小，且不受稳定器对其横向位移的限制，因此其涡动轨迹几乎布满井筒横截面（见图17）。该处钻柱的正反涡动交替频繁，最大瞬时涡动速度为−189.1 r/min（见图18）。横向加速度均值为33.7g，最大为178.9g，30～60 s时间段内多次超过50g（见图19），该处钻柱的安全隐患较大。

图 19 D点处钻柱形心的横向加速度

Figure 19. Lateral acceleration of drilling string centroid at position D

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3.3 特深井钻柱粘滑特性分析

在特定的条件下，钻柱会发生粘滑振动，包括粘滞和滑脱2种状态。粘滞是指地面驱动系统传递到钻头的驱动扭矩小于钻头所受的摩阻力矩，此时钻头与岩石相对位置不动。滑脱是指当地面驱动系统提供的扭转势能不断积累，直至大于钻头所受的摩阻力矩时，钻头快速旋转破岩，释放积累的扭转势能。粘滑振动循环往复发生，会导致钻头磨损，钻进效率低下，甚至导致钻具螺纹接头疲劳失效。因此需要重点关注钻柱的粘滑振动状态。

钻柱A点、B点、C点和D点在30～60 s时间段内的转速和所受扭矩如图20—图27所示。

图 20 A点处钻柱的转速

Figure 20. Rotary velocity of drilling string at position A

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图 21 A点处钻柱所受扭矩

Figure 21. Torque of drilling string at position A

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图 22 B点处钻柱的转速

Figure 22. Rotary velocity of drilling string at position B

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图 23 B点处钻柱所受扭矩

Figure 23. Torque of drilling string at position B

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图 24 C点处钻柱的转速

Figure 24. Rotary velocity of drilling string at position C

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图 25 C点处钻柱所受扭矩

Figure 25. Torque of drilling string at position C

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图 26 D点处钻柱的转速

Figure 26. Rotary velocity of drilling string at position D

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图 27 D点处钻柱所受扭矩

Figure 27. Torque of drilling string at position D

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A点处钻柱的转速受转盘恒定转速影响，分布在90 r/min左右，波动范围为89.1～90.7 r/min，波动幅度较小（见图20）。A点处钻柱所受扭矩的均值为16.0 kN·m，波动范围为8.4～22.7 kN·m，波动幅度较大（见图21）。

B点处钻柱的转速呈现出正弦波的形式，波动范围为3.2～156.0 r/min，波动幅度较大，且有不充分粘滑振动的特征（见图22）。B点处钻柱所受扭矩也以正弦波的形式波动，主要在9.2～17.5 kN·m波动（见图23）。

C点处的钻柱发生了充分粘滑，40～55 s时间段内呈现一典型的粘滑周期现象，粘滞现象持续约2 s，随后进入滑脱，转速迅速上升，最大转速达218.3 r/min，为地面转速的2.4倍，达到峰值后转速快速下降，整个滑脱现象持续约13 s（见图24）。C点处钻柱所受扭矩的均值为2.5 kN·m，波动范围为1.5～3.5 kN·m，波动幅度较小，但波动频率较高（见图25）。

D点处的钻柱粘滑现象基本与C点处一致，最大转速为217.3 r/min（见图26）。该位置处钻柱所受扭矩的均值为9.9 kN·m，波动范围为5.6～17.6 kN·m，既呈现出正弦波的形式，又有高频的小幅波动（见图27）。

4. 结　论

1）利用SOR节点迭代法，可以成功模拟总长超9 000 m的特深井钻柱动力学特性。

2）钻柱不同位置的涡动及粘滑运动分析结果表明，井口附近钻柱因受较大拉力及顶驱系统的横向约束，未与井筒发生碰撞，涡动较为规则，粘滑现象不明显；钻柱中部位置的不规则涡动明显且与井壁频繁碰撞；底部钻柱（钟摆段中点附近）受较大压力作用，涡动更加明显且易出现粘滑，特别是中性点位置附近钻柱的涡动最为剧烈。

3）横向加速度特征表明，井口附近及中部钻柱的横向振动加速度相对较小，碰撞作用不明显。底部钻柱（钟摆段中点附近）与井壁碰摩相对较严重。中性点位置附近钻柱的横向加速度最大，钻柱与井壁的碰摩严重，安全隐患较大，钻井作业时需要重点关注。

图 1 局部坐标系

Figure 1. Local coordinate system

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图 2 单元坐标系

Figure 2. Element coordinate system

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图 3 碰撞模型

Figure 3. Collision model

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图 4 节点迭代法示意

Figure 4. Node iteration method

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图 5 SOR节点迭代法的计算流程

Figure 5. Calculation flowchart of SOR node iteration method

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图 6 固支梁模型示意

Figure 6. Fixed beam model

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图 7 SOR节点迭代法计算结果与解析解的对比

Figure 7. Comparison of SOR node iteration calculation results and analytical solutions

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图 8 A点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 8. Whirl trajectory of drilling string centroid at position A

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图 9 A点处钻柱形心的涡动速度

Figure 9. Whirl velocity of drilling string centroid at position A

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图 10 A点处钻柱形心的横向加速度

Figure 10. Lateral acceleration of drilling string centroid at position A

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图 11 B点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 11. Whirl trajectory of drilling string centroid at position B

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图 12 B点处钻柱形心的涡动速度

Figure 12. Whirl velocity of drilling string centroid at position B

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图 13 B点处钻柱形心的横向加速度

Figure 13. Lateral acceleration of drilling string centroid at position B

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图 14 C点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 14. Whirl trajectory of drilling string centroid at position C

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图 15 C点处钻柱形心的涡动速度

Figure 15. Whirl velocity of drilling string centroid at position C

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图 16 C点处钻柱形心的横向加速度

Figure 16. Lateral acceleration of drilling string centroid at position C

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图 17 D点处钻柱形心的涡动轨迹

Figure 17. Whirl trajectory of drilling string centroid at position D

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图 18 D点处钻柱形心的涡动速度

Figure 18. Whirl velocity of drilling string centroid at position D

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图 19 D点处钻柱形心的横向加速度

Figure 19. Lateral acceleration of drilling string centroid at position D

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图 20 A点处钻柱的转速

Figure 20. Rotary velocity of drilling string at position A

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图 21 A点处钻柱所受扭矩

Figure 21. Torque of drilling string at position A

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图 22 B点处钻柱的转速

Figure 22. Rotary velocity of drilling string at position B

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图 23 B点处钻柱所受扭矩

Figure 23. Torque of drilling string at position B

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图 24 C点处钻柱的转速

Figure 24. Rotary velocity of drilling string at position C

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图 25 C点处钻柱所受扭矩

Figure 25. Torque of drilling string at position C

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图 26 D点处钻柱的转速

Figure 26. Rotary velocity of drilling string at position D

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图 27 D点处钻柱所受扭矩

Figure 27. Torque of drilling string at position D

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1. 钻柱动力学有限元模型
1.1 基本假设
1.2 坐标系
1.3 钻柱动力学有限元模型
1.4 边界条件及约束
2. 求解方法
2.1 Newmark法
2.2 节点迭代法
2.3 超松弛迭代法
2.4 算例验证
3. 特深井钻柱动态特性分析
3.1 基本参数
3.2 特深井钻柱涡动特性分析
3.3 特深井钻柱粘滑特性分析
4. 结　论

1. 钻柱动力学有限元模型
1.1 基本假设
1.2 坐标系
1.3 钻柱动力学有限元模型
1.4 边界条件及约束
2. 求解方法
2.1 Newmark法
2.2 节点迭代法
2.3 超松弛迭代法
2.4 算例验证
3. 特深井钻柱动态特性分析
3.1 基本参数
3.2 特深井钻柱涡动特性分析
3.3 特深井钻柱粘滑特性分析
4. 结　论

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特深井钻柱动力学特性模拟与分析

通讯作者: 王文昌，wenchangwang@163.com

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出版历程

Simulation and Analysis of Dynamic Characteristics of Drilling String in Extra-Deep Wells

1. 钻柱动力学有限元模型

1.1 基本假设

1.2 坐标系

1.3 钻柱动力学有限元模型

1.4 边界条件及约束

2. 求解方法

2.1 Newmark法

2.2 节点迭代法

2.3 超松弛迭代法

2.4 算例验证

3. 特深井钻柱动态特性分析

3.1 基本参数

3.2 特深井钻柱涡动特性分析

3.3 特深井钻柱粘滑特性分析

4. 结 论

期刊类型引用(6)

其他类型引用(5)

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出版历程

目录

1. 钻柱动力学有限元模型

1.1 基本假设

1.2 坐标系

1.3 钻柱动力学有限元模型

1.4 边界条件及约束

2. 求解方法

2.1 Newmark法

2.2 节点迭代法

2.3 超松弛迭代法

2.4 算例验证

3. 特深井钻柱动态特性分析

3.1 基本参数

3.2 特深井钻柱涡动特性分析

3.3 特深井钻柱粘滑特性分析

4. 结 论

通讯作者:
王文昌，wenchangwang@163.com

4. 结　论

4. 结　论