CFD Simulation and Prediction Model of Annular Frictional Pressure Drop with Combined Effects of Drillpipe Rotation Speed and Eccentricity
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摘要:
深井钻井时，准确预测环空摩擦压降是保证井筒压力预测精度的关键，钻井液流速、钻杆转速及环空偏心度是影响环空摩擦压降的重要因素。为研究多种因素耦合作用下环空摩擦压降的变化规律，建立了水平井环空钻井液流动模型，对幂律流体在层流和湍流条件下的流动特性开展了数值模拟。模拟结果表明：层流状态下，偏心度和钻杆转速单独作用时，都会导致环空摩擦压降减小；偏心度和钻杆转速共同作用时，环空摩擦压降随偏心度先增大后减小，这与偏心环空中惯性效应对螺旋流的破坏作用有关。湍流状态下，钻杆转速对同心环空的摩擦压降几乎没有影响；偏心环空中，随着钻杆转速增大，不同偏心度下的环空摩擦压降值逐渐增加，且都逐渐趋近于同心环空摩擦压降。基于数值模拟数据，建立了层流和湍流条件下考虑钻杆转速和偏心度耦合作用的环空摩擦因子预测模型，该模型对模拟数据的最大拟合误差为9.18%，对试验数据的最大预测误差为8.33%。研究结果可为深井钻井时井筒压力控制和水力参数优化提供参考。
Abstract:Accurate prediction of annular frictional pressure drop is the key to ensuring the accuracy of bottomhole pressure prediction during deep well drilling. The flow rate of the drilling fluid, drillpipe rotation speed, and the annular eccentricity are important factors affecting the annular frictional pressure drop. To investigate the change in annular frictional pressure drop with the combined effects of various factors, a drilling fluid flow model in the annulus of a horizontal well was developed, and the flow characteristics of power-law fluids under laminar and turbulent flow conditions were numerically investigated. The results show that: 1) under the laminar flow condition, annular frictional pressure drop decreases when the eccentricity or the drillpipe rotation speed increases separately. However, when these two parameters increase simultaneously, the annular frictional pressure drop increases first and then decreases as eccentricity increases. This is due to the destruction of helical flow by the inertia effect in the eccentric annulus. 2) Under the turbulent flow condition, drillpipe rotation speed has almost no effects on the frictional pressure drop in the concentric annulus. In the eccentric annulus, with the drillpipe rotation speed increasing, the frictional pressure drop under different eccentricities increases gradually and converges to the frictional pressure drop in the concentric annulus. Based on the numerical simulation data, the prediction model for annular frictional coefficient with the combined effects of drillpipe rotation speed and eccentricity under laminar and turbulent flow conditions are developed. The maximum fitting error of the model to the simulated data is 9.18%, and the prediction error for experimental data is no more than 8.33%. The results of this study could provide reference for wellbore pressure control and hydraulic parameter optimization during deep well drilling.
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自激振荡射流是利用自激振荡喷嘴内流体的高频脉动而形成的高效射流，由于其具有效率高及无需额外激励元件的特点，被广泛应用在煤层增透、石油钻井和船舶清洗等领域[1-5]，基于此技术，瓦斯抽采效果提高约7.8倍[6-8]。亥姆霍兹喷嘴是一种典型的自激振荡射流喷嘴，其独特的构造使流体在亥姆霍兹腔内流动时形成两股具有切向速度差的叠加流体，并且由于开尔文–亥姆霍兹不稳定性，两股流体相互作用形成剪切层，自上喷嘴处脱落的射流剪切涡在剪切层内演化为大尺度的涡环结构，引发强烈的振荡及空化，诱导射流的自持续振荡[9-11]。李江云等人[12]将自激振荡射流分为低压大流量和高压小流量2类，并指出空化作用是低压大流量产生自激振荡的主要原因；而对于高压小流量喷嘴，腔内空化泡增长和坍塌引起的扰动频率是高频振荡射流的主要激发源。数值方法是研究超声空化的主要方法，M. S. Plesset等人[13]在Rayleigh的研究基础上构建了包含气泡表面张力和泡内压力的空化泡动力学方程，并基于高速摄影方法验证了数值计算结果；随后，J. B. Keller等人[14]引入声辐射效应及流体可压缩性，修正了Rayleigh-Plesset 方程。总而言之，探究空化泡的周期性行为及空化强度的控制机理对自激振荡射流的优化具有重大作用。
目前，控制空化规模、提高空化强度的方式主要是将超声空化和水力空化联合。L. Davydov等人[15]研究了超声空化对4种二氧化钛粉体降解水杨酸的影响，结果表明，在光催化过程中超声波对水杨酸的破坏速率和效率有显著影响。吴鹏飞[16]通过观察水动力–声空化的空化泡，表征了其声流耦合空化的周期性特征和强度分布，结果表明，超声显著拓宽了空化范围，增强了空化强度。但目前针对声–流耦合空化的研究主要集中在应用领域，对空化流动机理研究不足。因此，探索声–流耦合空化的空化流动机理，寻找能够实现自激振荡腔内空化强度主动控制的方法，进而提高自激振荡脉冲射流性能对我国水射流技术的进步具有重要作用。笔者从空化泡动力学的角度进行探讨，重点关注腔室结构对空化泡尺寸的影响及外加超声波对空化强度及空化云脉动周期的调制，以期能深入了解自激振荡射流的机理，增强自激振荡射流强度及冲蚀效果。
1. 空化泡动力学计算模型
1.1 空化泡动力学方程
目前自激振荡腔室内空化气泡壁的运动方程是通过求解气泡壁的质量、能量、动量传递方程来构建的[17]，对该过程进行了假设，即空化泡在整个运动过程中始终保持球形对称状态且空化泡壁面只做径向运动，该假设通常在压力波波长远大于空化泡尺寸时得到满足。
假设液体中存在一初始半径为Ra的气泡核，泡内为少量水蒸气和空气，忽略气泡自身浮力与重力（见图1），则空化泡内外的压力分别为：
pin=pg0+pv (1) pout=p0+2σ/Ra (2) 式中：pin为空化泡内部压力，Pa；pout为空化泡外部压力，Pa；
pg0 为泡内气体分压，Pa；pv 为泡内蒸汽分压，Pa；p0 为泡外液体压力，Pa；σ为空化泡表面张力，N/m；Ra为空化泡初始半径，m。对于球形空化泡系统，动能来自空化泡周围液体，势能集中于空化泡内部，则：
Ep=∭ (3) {E_{\rm{k}}} = \frac{1}{2}\int\limits_{{R}}^\infty {4{\text{π}} \rho } {\left( {{\frac{{\rm{d}}R}{{\rm{d}}s}}} \right)^2}{R^2}{\rm{d}}r = 2{\text{π}} \rho {R^3}{\left( {{\frac{{\rm{d}}R}{{\rm{d}}s}}} \right)^2} (4) {L_{\rm{e}}} = {E_{\rm{k}}}{{ - }}{E_{\rm{p}}} (5) 式中：Ep为球形空化泡系统的势能，J；Ek为球形空化泡系统的动能，J；R为空化泡半径，m；ρ为液体密度，kg/m3；Le为空化泡能量变化量，J。
将式（3）和（4）代入拉格朗日方程，得：
\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L_{\rm{e}}}}{{\partial \left( {{{{\rm{d}}R} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rm{d}}R} {{\rm{d}}s}}} \right. } {{\rm{d}}s}}} \right)}} - \frac{{\partial L_{\rm{e}}}}{{\partial R}} = 0 (6) \,其中\qquad \qquad\quad \frac{{\partial L_{\rm{e}}}}{{\partial \dot R}} = 4{\text{π}} \rho {R^3}\left( {{\frac{{\rm{d}}R} {{\rm{d}}s}}} \right)\qquad \quad (7) \frac{{\partial L_{\rm{e}}}}{{\partial R}} = 6{\text{π}} \rho {R^2}{\left( {{\frac{{\rm{d}}R} {{\rm{d}}s}}} \right)^2} + 4{\text{π}} ({p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{out}}}}){R^2} (8) \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L_{\rm{e}}}}{{\partial \left( {{{{\rm{d}}R} \mathord{\left/ {\vphantom {{dR} {ds}}} \right. } {{\rm{d}}s}}} \right)}}{{ = }}4{\text{π}} \rho {R^3}{\frac{{{\rm{d}}^2}R}{{\rm{d}}{s^2}}}{{ + }}12{\text{π}} \rho {R^2}{\left( {{\frac{{\rm{d}}R}{{\rm{d}}s}}} \right)^2} (9) 整理并化简，即为Rayleigh-Plesset方程[13]：
\rho R{\frac{{{\rm{d}}^2}R}{{\rm{d}}s{}^2}}{{ + }}\frac{3}{2}\rho {\left( \frac{{\rm{d}}R}{{\rm{d}}s} \right)^2}{{ = }}{p_{{\rm{in}}}}{{ - }}{p_0}{{ - }}\frac{2\sigma}{R_\text{a}} (10) 1.2 计算方法及初始条件
式（10）为典型的二阶常微分方程，通过引入中间函数对该微分方程进行降阶，采用四阶龙格–库塔方法求解该微分方程[18]，相应的MATLAB函数为ode45，该数值解法以四阶方法计算候选解，五阶方法计算候选解的误差，计算过程中步长自适应。计算初始条件为初始时刻的空化泡半径及空化泡半径随时间的变化率。水体中空化核直径约为5～100 μm，空化核初始直径Ra为6.0 μm，空化泡表面张力σ为0.076 N/m，液体的密度ρ为1 000 kg/m3，波速c为1 481 m/s。另外，空化泡初生时体积变化较慢，初始时刻的半径变化率可忽略。
2. 空化泡动态变化规律
超声空化是指液体内的空化核在超声声压的周期性作用下体积增长、受迫缩小、再次生长、再次收缩并最终溃灭产生高温高压微射流的动力学过程。为了进一步阐明超声水力空化强化自激振荡射流空化强度机理，需要对声–流耦合场下亥姆霍兹喷嘴内空化泡动态变化规律进行空化泡动力学数值计算，研究腔室结构对空化泡尺寸的影响及外加超声场对空化强度和脉动周期的调制作用。在对空化泡动态变化进行动力学数值计算时，需要确定空腔内瞬态压力的变化规律，但剪切层内无序涡流经过调制与放大后形成强度集中的有规则涡流，腔内压力波动也随之增大，导致压力波动更复杂[18-21]。对于此问题，李晓红等人[22]基于流体网络理论建立了自激振荡脉冲射流喷嘴的等效网络模型，实现了腔内压力脉动的简化。
2.1 谐振腔内压力场
2.1.1 来流脉动
在目前广泛使用的自激振荡射流的发生装置及系统中，柱塞泵是主要的动力源，由于柱塞泵结构的固有特点，自激振荡喷嘴的来流是周期性脉动的。在曲柄连杆机构的往复泵中，活塞运动的速度随时间变化，泵排出的流量也随时间变化[23]，则柱塞的运动速度为：
{v_{\rm{c}}}(\varphi ) = {\omega _{\rm{c}}}r\sin \varphi \left(1 - \frac{{r\cos \varphi }}{{\sqrt {s_0^2 - {r^2}{{\sin }^2}\varphi } }}\right) (11) 式中：v为柱塞的运动速度，m/s；
{\omega _{\rm{c}}} 为曲轴角速度，rad/s；r为曲轴旋转半径，m；s0为连杆长度，m；\varphi 为曲轴转角，rad。多缸泵的瞬时流量为所有液缸在同一瞬时排出的流量之和：
{q_0} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{\text{π}} }{4}{D^2}\sum\limits_{j = 1}^{{K_1}} {{v_{\rm{c}}}\left(\varphi + j\frac{{2{\text{π}} }}{n}\right)\quad0 \leqslant \varphi < {\varphi _0}} \\ \frac{{\text{π}} }{4}{D^2}\sum\limits_{j = 1}^{{K_1}} {{v_{\rm{c}}}\left(\varphi + j\frac{{2{\text{π}} }}{n}\right)\quad {\varphi _0} \leqslant \varphi < \frac{{\text{π}} }{n}} \\ \frac{{\text{π}} }{4}{D^2}\sum\limits_{j = 1}^{{K_1} - 1} {{v_{\rm{c}}}\left(\varphi + j\frac{{2{\text{π}} }}{n}\right)\quad \frac{{\text{π}} }{n} \leqslant \varphi < \frac{{2{\text{π}} }}{n}} \\ \end{gathered} \right. (12) \,其中\qquad \qquad\quad{\varphi _0}{{=}}\arccos \frac{{r^2} + a_1^2 - {s^2}}{2r{a_1}}\quad (13) {a_1} = s + r - 2{C_{\rm{v}}}r\frac{\Delta p}{K} (14) 式中：
{C_{\rm{v}}} 为余隙容积与柱塞每转排出或吸入容积之比；\Delta p 为平均排出压力与平均吸入压力之差，MPa；K为流体的体积弹性模量，MPa。柱塞泵通过管路将高压流体输送至自激振荡喷嘴，由瞬变流理论，串联系统有：
Z_{j + 1}^{\rm{L}} = {F_j}Z_j^{\rm{R}} (15) \,其中\qquad \qquad\qquad \quad Z_{j + 1}^{\rm{L}} = \left\{ \begin{gathered} q \\ h \end{gathered} \right\}_{j + 1}^{\rm{L}}\qquad (16) Z_j^{\rm{R}} = \left\{ \begin{gathered} q \\ h \ \end{gathered} \right\}_{j + 1}^{\rm{R}} (17) {{\boldsymbol{F}}_j}{{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{chm}}_j}{l_j}}&{ - \dfrac{1}{{{Z_{{\rm{c}}j}}}}{{\rm{shm}}_j}{l_j}} \\ { - {Z_{{\rm{c}}j}}{{\rm{shm}}_j}{l_j}}&{{{\rm{chm}}_j}{l_j}} \end{array}} \right] (18) {Z_{{\rm{c}}j}} = \frac{{m_j}c_j^2}{i\omega g{A_j}} (19) {m_j}{{ = }}\sqrt {\frac{{{A_j}g\omega }}{{c_j^2}}\left( - \frac{\omega }{{g{A_j}}} + if\right)} (20) 式中：
Z_{j + 1}^{\rm{L}} 为第j段管左端的状态参数；q为第j段管的流量，m3/s；h为第j段管的水头，m；Z_j^{\rm{R}} 表示第j段管右端的状态参数；Fj为第j段管路的场矩阵；{Z_{{{\rm{c}}j}}} 为第j段管路的特征阻抗；mj为第j段管道的传播因子；f为流体与管道的摩擦系数；cj为第j段管路中声音的传播速度， m/s；Aj为第j段管路的截面积，m2；lj为第j段管路的长度，m；ω为流体振动圆频率，Hz； g为重力加速度，m/s2。2.1.2 自激振荡脉冲射流喷嘴的模拟
由于目前研究的重点是腔室内部的压力振荡，因此下游的等效回路是针对腔室的，谐振腔视为LC振荡器[18]，其等效电路如图2所示。
该系统可由线性常系数二阶微分方程表示：
LC\frac{{{{\rm{d}}^2}{p_{\rm{c}}}(t)}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + RC\frac{{{\rm{d}}{p_{\rm{c}}}(t)}}{{{\rm{d}}t}} + {p_{\rm{c}}}(t) = {p_1}(t) (21) 式中：L为自激振荡脉冲喷嘴等效流体网络的流感，Pa·s2/kg；C为自激振荡脉冲喷嘴等效流体网络的流容，kg/Pa；
{p}_{1}(t)，{p}_{{\rm{c}}}(t) 分别为喷嘴入口压力和谐振腔内压力，MPa。若初始条件
{p}_{1}(t){=}0，{p}_{{\rm{c}}}(t){=}0，{p}_{{\rm{c}}}'(t){=}0， {p}_{{\rm{c}}}''(t){=}0， 可得该系统的压力传递函数为：W(s) = \frac{{{p_{\rm{c}}}(t)}}{{{p_1}(t)}} = \frac{1}{{1 + RCs + LC{s^2}}} (22) 式中：s为拉普拉斯算子。
2.2 空化泡动态变化特点
目前，通过自激振荡射流脉冲调制进行喷嘴结构优化的研究很多，例如赵韡等人[25]采用快速傅里叶变换方法，对不同结构参数下喷嘴流场的仿真结果进行幅频转换，分析腔体结构对振荡频率与振荡峰值的影响规律，以明确腔室结构对空化泡尺寸及空化云脉动周期的影响。喷嘴的结构如图3所示，具体尺寸见表1。
表 1 亥姆霍兹喷嘴尺寸Table 1. Dimensions of Helmholtz nozzlesd1/mm d2/mm β/（°） Lc/mm Dc/mm 1.2 1.3 120 3.0 8.0 9.0 10.0 10.5 11.0 1.2 1.3 120 2.0 10.5 2.5 3.0 3.5 4.0 根据上述喷嘴直径及谐振腔内压力场仿真模型，计算得到谐振腔内压力脉动情况，代入空化泡动力学模型中，分析谐振腔直径和长度对谐振腔内空化泡动态变化的影响，结果如图4所示。
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图 4 不同谐振腔直径、长度条件下空化泡的动态变化Figure 4. Dynamic variation of cavitation bubbles with different cavity diameters and cavity lengths从图4可以看出：谐振腔直径和长度均会影响谐振腔内空化泡直径的动态变化；当谐振腔长度为3 mm时，空化泡的最大直径随谐振腔直径增大而增大；当谐振腔直径为10.5 mm时，谐振腔长度增大也可以增大自振空化泡的最大直径。此外，在压力波动的波谷处空化泡快速膨胀，在0.02 ms处达到峰值后急速收缩至最小，空化泡发生溃灭。水力空化泡在一个周期内多次膨胀和塌缩，谐振腔内空化泡首次膨胀及溃灭比后续膨胀与溃灭更剧烈。对比不同谐振腔直径下空化泡的动态变化特点可以发现，随着谐振腔直径增大，谐振腔内单个空化泡的最大半径也随之增大，即空化现象更剧烈。
相同的，谐振腔腔长与单空化泡发展最大半径之间也呈现出相同的规律。空化泡在腔室内发展并向下游运移，被碰撞壁的尖角分割成2部分：一部分沿原有运动方向流向出口端面；另一部分沿碰撞壁破碎，形成的微射流及能量变化对腔室内造成周期性的影响。腔室相当于蓄能器，可以对出口端面的质量流量进行周期性调节[20]，因此腔内空化强度提高，有利于提高自激振荡效果。然而，由前人的研究得知，存在最优的腔长和腔径，使自激振荡射流的振荡频率和振荡峰值最大[19]。这是因为，腔内空化涡环随着腔长和腔径的增加而变大，即单空化泡发展的最大半径随之变大，这有利于振荡的增大；但腔长和腔径过大会造成流阻、能耗增大[26]。
3. 超声波强化水力空化
由上述研究结果可知，自激振荡腔内空化泡振荡最大直径与射流脉冲效果正相关。因此，在不改变喷嘴结构的基础上，强化空化强度并进一步提升自激振荡射流脉冲强度将具有十分重要的价值。借鉴声学领域超声空化的应用，提出了超声强化脉冲射流并将其应用于矿产开采及金属加工[27-28]。分析声–流耦合场中单空化泡直径变化规律，可为评估和提高自激振荡射流效果提供理论基础。
3.1 超声波作用下压力场
当流动和波动同时出现在流场中时，尤其是高雷诺数、高声强的流动和波动，单一的N–S方程或波动方程无法解决耦合流场中空化的问题。因此，需要对耦合场中空化泡做简化：将声压与无外加声场时的流场压力叠加，作为耦合场的瞬时压力，并将该瞬时压力作为气泡振动方程中的压力驱动相求解单个气泡振动方程，则声–流耦合场中的总压力可以写成流场的压力与声压的叠加：
{p_{\rm{t}}} = {p_{\rm{f}}} + {p_{\rm{s}}} (23) 3.2 声–流耦合场空化泡动态变化规律
3.2.1 超声频率对气泡运动的影响
当Dc为10.5 mm时，根据式（23）及空化泡动态变化模型，计算得到不同腔长喷嘴振荡腔内空化泡在不同频率声场作用下半径随时间的变化曲线，见图5）。从图5可以看出，在不同频率超声波驱动下，声–流耦合场中的空化泡均比单独的水力空化泡膨胀溃灭得更剧烈。即超声波降低了空化阈值，使空化更容易发生。从空化泡动力学角度看，超声对水力空化的强化效应主要表现在更高频的压力脉动，当声场提供的声压为负值时，流场压力对空化泡直径的影响减小，而当声压在正半周期时，声场使空化泡的塌缩加剧。对于声场及流场的叠加，由于流场造成的压力脉动主要取决于亥姆赫兹喷嘴的尺寸，因此声场的频率是决定两者匹配程度的关键因素，当超声频率适当时，水力空化受到超声的作用而增强；相反，当超声频率与流场压力脉动不匹配时，超声对水力空化的强化效应减弱，能量利用效率不高。超声波频率过高使声波膨胀时间缩短，空化核的增长时间也随之缩短[29]。从图5还可以看出，超声波的最佳频率也与喷嘴的尺寸相关，腔长为2.0 mm时，最佳超声波频率为40 kHz；当腔长超过2.4 mm时，最佳超声波频率降至20 kHz。因此，在实际应用过程中，选择超声波频率时，应充分考虑喷嘴的尺寸。
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图 5 不同频率声场作用下不同腔长喷嘴内空化泡的动态变化规律Figure 5. Dynamic variation law of cavitation bubbles in nozzles with different cavity lengths under action of different frequency acoustic fields3.2.2 超声幅值对气泡运动的影响
基于空化泡动力学数值计算结果，得到声压幅值对空化泡动态变化规律的影响（见图6）。声场的声压幅值提高，空化泡动态变化过程中能膨胀到的最大半径会增大，进而增加压缩比，即空化效应增强。但是与声场频率具有最佳值不同，声压幅值对空化效应的强化作用是单调增加的，但当仅存在声场的情况下，声压幅值的强化作用存在上限；超过上限后，空化气泡在声场负压作用下可能会急速增大，导致它在接下来的声场正压作用下无法被压缩并崩溃[18]。而在声–流耦合场中，由流动造成的压力波动幅值远大于声场、频率远低于声场，这使空化泡处于压力波动的波谷时，空化泡的凝结和溃灭主要受到声波的主导；而在波峰时，声场波动基本上可以忽略。总的来说，声场幅度对空化强度的影响趋势是单调递增的，即声场振幅越大，空化越强烈。因此，在应用声–流耦合场强化空化效应过程中，应选用较大的声场振幅，但也要考虑成本及效率等因素，选择最佳的超声波幅值。
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图 6 不同幅值超声波作用下喷嘴内空化泡的动态变化规律（Dc=10.5 mm, Lc=3.0 mm）Figure 6. Dynamic variation law of cavitation bubbles in a nozzle under the influence of ultrasonic waves of different amplitudes (Dc=10.5 mm, Lc=3.0 mm)4. 结 论
1）自激振荡射流喷嘴的腔长和腔径对腔室内空化强度有较大的影响，腔长和腔径增大都有利于空化强度的提升。
2）声–流耦合场中空化泡的膨胀收缩相比单一流场更剧烈，因此，可以通过外加声场的方式强化自激振荡腔内的空化强度，以进一步提升自激振荡射流的效果。
3）随着超声波频率升高，空化泡最大半径呈现先增大后减小的趋势；超声波频率过高，会使声波膨胀时间缩短，空化核的增长时间也随之缩短。超声波的最佳频率与喷嘴腔长相关，而声场幅度对空化强度的影响呈单调递增趋势，即声场振幅越大，空化越强烈。
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图 1 水平井筒环空模型及横截面网格划分示意
Figure 1. Horizontal wellbore annulus model and cross-section meshing
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图 2 单位长度环空摩擦压降与总网格数的关系曲线
Figure 2. Relationship between annular frictional pressure drop per unit length and total mesh number
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图 4 钻杆不旋转时不同入口速度下单位长度环空摩擦压降随偏心度的变化
Figure 4. Variation of annular frictional pressure drop per unit length with eccentricity at different inlet velocities when drillpipe is not rotating
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图 5 钻杆不旋转时不同偏心度条件下的环空出口钻井液速度云图
Figure 5. Velocity contours of drilling fluid at annulus outlet with dfferent eccentricities when the drillpipe is not rotating
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图 6 同心环空（e=0）中不同入口速度下单位长度环空摩擦压降随钻杆转速的变化
Figure 6. Variation of annular frictional pressure drop per unit length with drillpipe rotation speed at different inlet velocities in a concentric annulus (e=0)
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图 7 同心环空（e=0）中不同钻杆转速下的钻井液表观黏度
Figure 7. Apparent viscosity of drilling fluid under different drillpipe rotation speeds in a concentric annulus (e=0)
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图 8 层流下不同钻杆转速时单位长度环空摩擦压降随偏心度的变化
Figure 8. Variation of annular frictional pressure drop per unit length with eccentricity at different drillpipe rotation speeds under laminar flow condition
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图 9 层流状态下钻杆旋转时同心环空与偏心环空中流体流线对比
Figure 9. Comparison of fluid streamline between concentric annulus and eccentric annulus during drillpipe rotation under laminar flow condition
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图 10 湍流状态下不同入口速度时环空摩擦压降随偏心度的变化曲线
Figure 10. Change curve of annular frictional pressure drop with eccentricity at different inlet velocities under turbulent flow condition
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图 11 环空中层流和湍流状态下出口处钻井液速度分布
Figure 11. Velocity distribution of drilling fluid at the outlet under laminar and turbulent flow conditions in the annulus
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图 12 湍流状态下不同入口速度时同心环空摩擦压降随钻杆转速的变化曲线
Figure 12. Change curve of concentric annular frictional pressure drop with drillpipe rotation speed at different inlet velocities under turbulent flow condition
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图 13 湍流状态下不同偏心度条件下单位长度环空摩擦压降随钻杆转速的变化
Figure 13. Variation of annular frictional pressure drop per unit length with drillpipe rotation speed under different eccentricity conditions and turbulent flow condition
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图 14 层流状态下钻杆不旋转时摩擦因子随偏心度的变化
Figure 14. Variation of frictional coefficient with eccentricity when drillpipe is not rotating under laminar flow condition
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图 15 层流状态下钻杆旋转时摩擦因子随泰勒数的变化
Figure 15. Variation of frictional coefficient with Taylor number when drillpipe is rotating under laminar flow condition
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图 16 湍流状态下钻杆不旋转时雷诺数与摩擦因子之间的关系
Figure 16. Relationship between Reynolds number and frictional coefficient when drillpipe is not rotating under turbulent flow condition
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图 17 湍流状态下钻杆旋转时泰勒数与摩擦因子之间的关系
Figure 17. Relationship between Taylor number and frictional coefficient when drillpipe is rotating under turbulent flow condition
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图 18 层流和湍流情况下摩擦因子预测值与模拟值的对比
Figure 18. Comparison between simulated and predicted frictional coefficients under laminar and turbulent flow conditions
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图 19 层流和湍流情况下环空摩擦压降预测值与试验数据的对比
Figure 19. Comparison between experimented and predicted annular frictional pressure drop under laminar and turbulent flow conditions
表 1 网格无关性分析结果
Table 1 Mesh independence analysis
网格划分
方案网格数 总网格数 单位长度环空摩擦
压降/（Pa·m−1）轴向 径向 周向 1 180 8 24 34 560 759.77 2 240 10 32 76 800 730.67 3 360 10 40 144 000 720.51 4 480 16 48 368 640 719.56 5 500 20 52 520 000 718.78 
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表 2 数值模拟方案
Table 2 Scheme of numerical simulation
稠度系数/
（Pa·sn）流性指数 入口速度/
（m·s−1）偏心度 钻杆转速/
（r·min−1）0.10 0.50 层流：0.10, 0.15,
0.20, 0.25, 0.30
湍流：1.00, 1.20,
1.40, 1.60, 1.800, 0.2, 0.4,
0.6, 0.80, 50, 100, 150 2.10 0.38 层流：1.00
湍流：4.000.4 0, 100 0.83 0.56 0.37 0.59 0.25 0.61
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表 3 偏心度与公式（16）中a1和a2的关系
Table 3 The relationship between Reynolds number and a1, a2 in Eq. 16
e a1 a2 0 0.08017 −1.00121 0.2 0.07819 −0.99010 0.4 0.07179 −0.96671 0.6 0.06114 −0.97408 0.8 0.05223 −0.97522
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表 4 R.M.Ahmed等人和M.Sorgun等人在试验中的环空尺寸及钻井液流变性参数
Table 4 Annulus dimensions and rheological properties of drilling fluids in experiments of R.M.Ahmed and M.Sorgun
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