相较于加速度计，磁力计易受外界磁干扰影响而造成磁方位角失真。目前，国内外已经形成了单点磁校正方法和多测点分析方法^[1-4]。单点磁校正方法通常假设仪器测量时仅存在轴向磁干扰，依据已知地磁场信息对仪器在单点的测量值逐个进行校正，从而实现磁方位角校正。建立ISCWSA模型时，为了保证误差模型具有普遍适用性，给出的传感器误差源的标准差通常较为保守。多测点分析方法在考虑磁干扰的前提下，依据连续多个测点的测量数据实现对传感器误差源实际值的估计，进而实现磁方位角校正。多测点分析方法考虑的误差源种类更全面、校正精度更高，是近年来的研究热点^[5-8]。

截至目前，国内外学者对于磁方位校正后的井眼轨迹测量误差计算鲜有涉及。针对单点磁校正方法，国内外学者虽然给出了相应的井眼轨迹测量误差计算模型，但由于单点磁校正的方法多样，模型是否具有普适性尚无结论^[9-10]。针对多测点分析方法，A. G. Brooks等人^[11]指出可以使用校正后残差计算磁方位角标准差，但未给出具体的权函数。由于受井眼轨迹限制，多测点分析方法无法实现对所有误差源的估计。F. C. Hanak和E. Nyrnes等人^[12-14]在此基础上引入协方差分析，研究了未估计误差源对井眼轨迹误差的影响，但仍未给出具体的误差源权函数。R. Ekseth等人^[15-16]在利用多测点分析方法进行测点质量控制时，给出了加速度计误差源的权函数，但在权函数推导过程中没有区分校正前后传感器各个轴的测量值。目前，国内外对磁方位角校正后误差源权函数的建立缺乏系统论述，仅给出以井斜角、方位角等间接测量参数为自变量的误差源权函数公式，既不利于理解，也不利于后续模型的修正。

基于以上2个问题，笔者从传感器误差模型出发，考虑磁方位校正的影响，推导了以直接测量参数为自变量的传感器误差源权函数，建立了考虑磁方位角校正的井眼轨迹误差计算模型，采用数值方法分析了地磁参考场精度对考虑磁方位校正的井眼轨迹测量误差的影响规律，以期为磁方位校正技术在国内应用提供理论基础。

1.   基于多测点分析方法的磁方位校正模型

1.1   传感器误差源分析

磁方位校正方法虽然多种多样，但本质都是通过优化算法，基于当地的地磁场信息实现对单个或多个误差源数值的最优估计；最后通过对误差源进行补偿，实现磁方位校正。因此，建立基于多测点分析方法的磁方位校正模型时，必须先明确待估计误差源种类。

MWD传感器误差模型通常忽略非正交误差、软磁铁误差及安装误差，此时磁力计误差模型可以简化为^[17]：

式中：${\hat {\boldsymbol B}}_{\rm{r}}^{\rm{b}}$为补偿后的磁力计输出值，nT；${\boldsymbol{B}}_{\rm{m}}^{\rm{b}}$为磁力计原始输出值，nT；S_mx，S_my和S_mz为ISCWSA模型中的磁力计灵敏度误差，远小于1；b_mx，b_my和b_mz为磁力计零位误差和硬磁铁误差的和项，nT；ε_B为高斯白噪声，nT。

根据ISCWSA模型假设，以上6个传感器误差源的先验误差模型均为期望是0的高斯分布。

1.2   目标函数

通常以当地的地磁场强度及磁倾角数值作为磁方位校正的依据。以修正后地磁场强度及磁倾角残差最小为目标函数，考虑到磁倾角与地磁场强度残差的量级相差过大，将磁倾角残差放大一定倍数^[15]。目标函数可表示为：

式中：B_t为参考地磁场强度，nT；Θ_t为参考磁倾角，rad；${\hat B_i}$为校正后第i个测点处的磁场强度，nT；${{\hat \varTheta }_i}$为校正后第i个测点处的磁倾角，rad；s为放大系数，一般取B_t值；n为测点数；y₁和y₂为校正后的残差值。

假设2个目标函数同权，则多目标函数可通过加权转换为单目标矩阵。将多个测点的目标函数合并写为矩阵形式：

式中：y为在每个测点处的目标函数矩阵，n×1阶；H_xx为各个测点处的待估计误差源权函数矩阵，n×m阶；H_xc为各个测点处的未估计误差源权函数矩阵，n×q阶；x₀为误差源的先验值，（q + m）×1阶；${\hat {\boldsymbol{x}}_{\rm{x}}}$为待估计误差源估计值矩阵，m×1阶；${\hat{\boldsymbol{ x}}_{\rm{c}}}$为未估计误差源估计值矩阵，q×1阶；ε为在各个测点处的噪声，n×1阶。

1.3   待估计误差源优化方法

为便于评价精度，使用最小二乘法求解待估计误差源。由于受井筒形状限制，实际上无法在同一测段对全部6个传感器误差源的数值进行估计。忽略未估误差源（又名考察参数）的影响，势必会造成对误差源精度乐观估计。为了分析评估考察参数的影响，引入协方差分析方法^[12]。

当不考虑考察参数的影响时，目标函数的最小二乘解表示为：

式中：${{\boldsymbol{x}}_{{{\bf{x}}{\boldsymbol{0}}}}}$为待估计误差源的先验值组成的矩阵，本文取ISCWSA模型给定值，q×1阶。

考虑考察参数的影响时，目标函数的最小二乘解表示为^[18]：

式中：${{\boldsymbol{x}}_{{{\bf{c}}{\boldsymbol{0}}}}}$为未估计误差源的先验值组成的矩阵，本文取ISCWSA模型给定值，m×1阶。

由于ISCWSA模型给定的传感器误差源的先验值均为0，考察参数对待估计误差源估计值无影响。

1.4   误差源权函数的建立

补偿后各个测点处的磁场强度及磁倾角计算公式为：

式中：${\hat B_i},{\hat B}_{{i,x}},{\hat B}_{{i,y}}和\hat B_{{i,z}}$为补偿后第i个测点处的磁场强度及各轴测量值，nT；${\hat G_i},{\hat G_{i,x}},{\hat G_{i,y}}和{\hat G_{i,z}}$为补偿后第i个测点处重力场及各轴实测值，m/s²；${\hat \varTheta _i}$为补偿后第i个测点处的磁倾角，（°）。

联立式（1）、式（6）和式（7）即可得到传感器误差源对补偿后的磁场强度及磁倾角的权函数。

补偿后各个测点处的磁方位角计算公式为：

式中：${\hat A_{m,i}}$为校正后第i个测点处的磁方位角，（°）。

联立式（1）和式（8）可得到磁力计误差源对校正后磁方位角的权函数。

2.   井眼轨迹测量误差计算方法

2.1   误差源精度评价方法

井眼轨迹测量误差计算的实质，是通过协方差传播率，用已知误差源的测量误差来计算，即：

式中：N，E和V为南北坐标、东西坐标和垂深坐标；P_nev为表示井眼轨迹测量误差的协方差矩阵；x为误差源向量；P_x为误差源协方差矩阵；K为权函数组成的误差传递矩阵。

目前常用的井眼轨迹测量误差模型为WdW模型和ISCWSA模型。对于WdW模型，误差源通常为井斜角、方位角、井深和不对中误差等；对于ISCWSA模型，误差源可细化为包含式（1）中所示传感器误差源的近30种误差。无论采用何种模型计算井眼轨迹测量误差，都必须首先确定估计后的误差源精度。

不考虑考察参数的影响，经多测点分析方法得到的待估计误差源协方差矩阵可表示为^[19]：

式中：m为待估计误差源的数量；${\hat \sigma _{\text{0}}}$为验后单位权方差；${P_{{{\hat {\boldsymbol{x}}}_{\rm{x}}}{{\hat{\boldsymbol{ x}}}_{\rm{x}}}}}$为不考虑考察参数影响时，待估计误差源的后验协方差矩阵。

考虑考察参数，误差源标准差需修正为^[18]：

式中：${{\boldsymbol{P}}_{{{\boldsymbol{x}}_{{{\bf{c}}{\boldsymbol{0}}}}}{{\boldsymbol{x}}_{{{\bf{c}}{\boldsymbol{0}}}}}}}$为考察参数的先验协方差矩阵；S为灵敏度矩阵；${{\boldsymbol{P}}_{{{{\boldsymbol{\hat x}}}_{{\rm{xc}}}}{{{\boldsymbol{\hat x}}}_{{\rm{xc}}}}}}$为考虑考察参数影响后，待估计误差源的后验协方差矩阵。

待估计误差源与考察参数间的后验协方差矩阵P可写为：

2.2   基于WdW模型的井眼轨迹测量误差计算

WdW模型认为方位角为独立误差源，因此计算磁方位校正后井眼轨迹测量误差的关键是确定校正后磁方位角的精度。根据协方差传播率，可以确定每个测点处的井深、井斜角和方位角的协方差矩阵，即：

式中：w为井深、井斜角和方位角组成向量；P_w为w的协方差矩阵。

已知校正后井斜角、方位角与井深的协方差矩阵后，可代入式（9）、式（10）求解井眼轨迹测量误差。

2.3   基于ISCWSA模型的井眼轨迹测量误差计算

与WdW模型相比，ISCWSA模式将井斜角、方位角视为相关误差源，对井眼轨迹测量的误差源进一步细化。假设细化后的各个误差源不相关，则各误差源的协方差矩阵P_x简化为对角阵。为便于计算，ISCWSA模型将式（9）改写为误差源误差矩阵和的形式：

式中：${\sigma _{{x_{0i}}}}$为第i个误差源的先验标准差；$\hat {\boldsymbol{ N}}$为校正后的井眼轨迹坐标矩阵。

在ISCWSA轴向磁干扰校正模型中，通常将参考地磁场强度和参考磁倾角作为单独的误差源来参与计算。这是由于ISCWSA模型中，各个误差源的权函数均使用B_t和Θ_t作为自变量，同时地磁参考场的精度也会对磁方位校正产生影响。本文推导的权函数使用补偿后的传感器测量值直接表示，不再涉及B_t和Θ_t，且通过协方差分析已经考虑了参考地磁场强度和参考磁倾角对估计误差源精度的影响。因此，在井眼轨迹误差模型中，不再单独考虑参考地磁场强度和参考磁倾角对井眼轨迹测量误差的影响。

经过磁方位角校正后，被估计的误差源之间存在相关性。但由于并非各个测段都可以进行磁方位校正，若考虑被估计误差源的相关性，一方面会破坏原有的ISCWSA模型框架，另一方面也无法实现磁方位校正的测段与未进行磁方位校正的测段间井眼轨迹测量误差的累加。基于这2个原因，忽略了被估计误差源的相关性。因此，计算校正后井眼轨迹测量误差时，仍沿用ISCWSA-MWD模型的框架，仅在进行了磁方位校正的井段对估计误差源的权函数及标准差进行修正。

3.   地磁参考场精度对井眼轨迹测量误差的影响

根据多测点分析方法原理可知，磁方位校正及校正后井眼轨迹测量误差的计算依赖于地磁参考场模型。因此，有必要分析地磁参考场精度对井眼轨迹测量误差的影响，以期为磁方位校正时优选地磁参考场模型提供参考。地磁参考场精度对磁方位角校正及井眼轨迹测量误差的影响来自于参考地磁场强度、磁倾角取值的绝对误差和不确定性2方面。为便于对比分析，以E. Nyrnes等人^[13，20]给出的模拟井眼轨迹数据为基础，根据传感器误差模型对测量值进行构造。其中，S_mx，S_my和S_mz的取值为5×10⁻⁴，4×10⁻⁴和−7×10⁻⁴；b_mx，b_my和b_mz取值分别为32，−24和3 000 nT。

3.1   参考地磁场强度的绝对误差

ISCWSA模型中，国际地磁参考场模型（IGRF）给出的参考地磁场强度的标准差为130 nT。根据高斯分布可知，参考地磁场强度与真实地磁场强度的绝对误差限为±390 nT（取3倍标准差3σ，下同）。假设参考磁倾角为75°，仅改变参考地磁场强度（B_t），井底处校正前后磁方位角如图1所示。

图  1  参考地磁场强度绝对误差对磁方位校正值的影响

Figure  1.  The influence of absolute error of geomagnetic reference field intensity on the magnetic azimuth correction results

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由图1可知，随着参考地磁场强度增大，校正后的磁方位值逐渐降低。由于未对所有6个误差源进行估计，即使参考值与真实值完全相同，校正后的磁方位较真实值仍有0.5°的误差，但相较于校正前，已经显著提高了磁方位角的测量精度。

由于校正前后磁方位角发生了较大改变，井眼坐标系也相应发生了改变。对比校正前后误差椭球半长轴r₁，r₂和r₃的变化情况，结果如图2所示。

图  2  参考地磁场强度绝对误差对磁校正后井眼轨迹测量误差的影响

Figure  2.  The influence of absolute error of geomagnetic reference field intensity on wellbore trajectory measurement errors after magnetic azimuth correction

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从图2可以看出，半长轴r₁和半长轴r₂相比校正前有一定增大，这是因为引入了地磁参考场误差项，造成校正后误差源b_mz的标准差大于ISCWSA模型给定的70 nT；半长轴r₃相比校正前有一定减小，这是因为校正后b_mx和b_my的标准差小于70 nT、且不再考虑磁干扰误差项。由于改变参考地磁场强度取值对误差源标准差影响很小，因此参考地磁场强度的绝对误差对井眼轨迹测量误差的影响也很小。

3.2   参考地磁场强度的标准差

改变参考地磁场强度的标准差，井底处校正前后井眼轨迹的测量误差如图3示。

图  3  参考地磁场强度的精度对磁校正后井眼轨迹测量误差的影响

Figure  3.  The influence of precision of geomagnetic reference field intensity on wellbore trajectory measurement errors after magnetic azimuth correction

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由图3可知，参考地磁场强度的精度降低会造成井眼轨迹测量误差在3个半轴方向均增大。改变参考地磁场强度的精度对b_mz标准差影响最大，因此r₃随参考地磁场强度的精度降低而明显增大。当参考地磁场强度的精度大于300 nT时，校正后井眼轨迹测量误差在3个轴向均大于校正前。

3.3   参考磁倾角的绝对误差

ISCWSA模型中，参考磁倾角（Θ_t）误差的标准差为0.2°。取绝对误差限为±0.6°（取3σ），仅改变参考磁倾角，井底处校正前后的磁方位角如图4所示。

图  4  参考磁倾角绝对误差对磁方位校正值的影响

Figure  4.  The influence of absolute error of geomagnetic reference dip on the magnetic azimuth correction results

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由图4可知，随着参考磁倾角增大，校正后磁方位值逐渐增大。

校正前后误差椭球的变化情况如图5所示。

图  5  参考磁倾角绝对误差对考虑磁方位校正的井眼轨迹测量误差的影响

Figure  5.  The influence of absolute error of geomagnetic reference dip on wellbore trajectory measurement errors incorporating magnetic azimuth correction

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由图5可知，参考磁倾角取值对校正后井眼轨迹测量误差的影响与参考地磁场强度类似。由于在构建目标函数时将磁倾角的目标函数放大了一定倍数，因此参考磁倾角的改变对校正后井眼轨迹测量误差的影响更大。

3.4   参考磁倾角的标准差

仅改变参考磁倾角的标准差，校正后井眼轨迹的测量误差如图6所示。

图  6  参考磁倾角精度对考虑磁方位校正的井眼轨迹测量误差的影响

Figure  6.  The influence of precision of geomagnetic reference dip on wellbore trajectory measurement errors incorporating magnetic azimuth correction

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由图6可知，参考磁倾角精度降低会造成井眼轨迹测量误差椭球在3个半轴方向增大；当参考磁倾角标准差大于0.2°时，校正后井眼轨迹测量误差在3个轴方向均大于校正前。

4.   结　论

1）基于传感器误差模型及协方差传播率，推导了以直接测量参数为自变量的误差源权函数。

2）建立了考虑磁方位校正的井眼轨迹测量误差计算模型。与ISCWSA模型相比，该模型可以计算使用多测点分析方法进行磁校正的井眼轨迹测量误差，适用范围更广。

3）考虑磁方位校正后，井眼轨迹测量误差随地磁参考场精度降低而增大。采用高精度的地磁模型进行磁方位校正，对于提高磁方位角测量精度、减小井眼轨迹测量误差具有现实意义。