单牙轮钻头楔形牙齿偏转角优化方法

陈炼; 宋朝晖; 王新东; 张武涛; 谢正森; 粟籽华

doi:10.11911/syztjs.2022026

单牙轮钻头楔形牙齿偏转角优化方法

1.
西南石油大学机电工程学院, 四川成都 610500
2.
西南石油大学博士后科研流动站, 四川成都 610500
3.
中国石油集团西部钻探工程有限公司工程技术研究院, 新疆乌鲁木齐 830046

基金项目: 国家自然科学基金项目“动静复合单牙轮钻头破岩机理及设计理论研究”（编号：51304168）和中国博士后科学基金（编号：2021M693909）联合资助

详细信息

作者简介:
陈炼（1981—），男，湖北大冶人，2003年毕业于武汉科技大学机械工程及自动化专业，2009年获西南石油大学机械电子工程专业硕士学位，2019年获西南交通大学机械设计及理论专业博士学位，副研究员，硕士生导师，主要研究方向为钻井岩石破碎学、钻头与提速工具。E-mail：chenlian8121@sina.com

中图分类号: TE921⁺.1
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出版历程
- 收稿日期: 2021-12-24
- 修回日期: 2022-11-07
- 网络出版日期: 2022-11-06
- 刊出日期: 2023-01-31

Optimization Methodology for Tooth Deflection Angles of Single-Cone Bit with Wedge-Shaped Teeth

1.
School of Mechanical Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan, 610500, China
2.
Postdoctoral Research Mobile Station of Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan, 610500, China
3.
Engineering Technology Research Institute, CNPC Xibu Drilling Engineering Company, Limited, Urumqi, Xinjiang, 830046, China

摘要

摘要:
为了解牙齿偏转角对单牙轮钻头破岩效率的影响，获得最优的牙齿偏转角，结合单牙轮钻头的运动特性和牙齿的工作特点，采用数值分析方法进行了楔形牙齿刮切破岩模拟，并建立了单牙轮钻头楔形牙齿偏转角优化方法，同时开展了不同楔形牙齿偏转角单牙轮钻头的破岩试验。数值分析表明：刮切破岩过程中，单牙轮钻头楔形牙齿的工作面和刮切体积在不断变化；楔形牙齿偏转角优化方法能准确、快速地计算楔形牙齿刮切体积，找出最优的偏转角；优化计算发现楔形牙齿的最优偏转角都在90°附近。破岩试验结果验证了楔形牙齿偏转角优化方法的可行性和计算结果的准确性。研究结果表明，利用单牙轮楔形牙齿偏转角优化方法，可以求得单牙轮钻头楔形牙齿的最优偏转角，可以为单牙轮钻头布置楔形牙齿提供指导。
- 单牙轮钻头 /
- 牙齿偏转角 /
- 优化 /
- 破岩效率 /
- 数值分析方法 /
- 实验室试验
Abstract:
To investigate the influence of tooth deflection angles on the rock-cutting efficiency of single-cone bits and obtain the optimal tooth deflection angle as well, rock scraping of wedge-shaped teeth was simulated by a numerical analysis method according to the motion characteristics of single-cone bits and the working performance of the teeth. An optimization methodology for the tooth deflection angles of single-cone bits with wedge-shaped teeth was developed, and rock-cutting tests were carried out on single-cone bits with different tooth deflection angles. The numerical analysis results showed that the working face and scraping volume of the wedge-shaped teeth of the single-cone bits kept changing during scraping rock. The proposed optimization methodology for tooth deflection angles could calculate the scraping volume of the wedge-shaped teeth and obtained the optimal tooth deflection angles accurately and rapidly. The optimizing calculation revealed that the optimal tooth deflection angles were all around 90°. The rock-cutting test results verified the feasibility of the proposed optimization methodology for tooth deflection angles and the accuracy of its calculation results. The research results demonstrated that the proposed optimization methodology for tooth deflection angles of single-cone bit with wedge-shaped teeth can be applied to obtain the optimal tooth deflection angles of the wedge-shaped teeth and direct their distribution on single-cone bits.
- single-cone bit /
- tooth deflection angle /
- optimization /
- rock-cutting efficiency /
- numerical analysis method /
- laboratory test

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随着超深井、定向井、水平井的逐渐增多，复杂载荷作用下套管的应力计算问题越来越受到关注。目前的研究主要针对居中套管（包括偏磨）在均匀和非均匀地应力条件下的强度计算^[1–9]，但在非均匀地应力条件下无法求得不居中套管应力的解析解，W. J. Rodriguez^[10]，P. D. Pattillo^[11]和A. Nabipour^[12]等人利用有限元方法进行了研究，只有窦益华^[13]讨论了解析求解方法，提出了解决此类问题的新思路。在实际工程中，由于所遇情况复杂多变，常常需要针对不同对象进行有限元建模和分析，所需周期长，很难满足快速、实时解决问题的要求。为此，笔者提出了一种基于支持向量机（support vector machine，SVM）的非均匀地应力条件下不居中套管最大von Mises应力的快速预测方法，并对ϕ311.1 mm垂直井眼中的套管进行了分析研究。

1. SVM原理及其Matlab实现

SVM是一种基于统计学习理论的机器学习算法，通过寻求结构风险最小化来实现实际风险的最小化，在有限信息条件下得到最优结果^[14]，在解决小样本、非线性和高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。SVM可以作为一种广义的线性分类器，它的原理是利用非线性变换将输入空间变换到一个高维的特征空间，并在新的空间寻找最优线性分界面。线性可分的情况下，为确保经验风险最小，选取最优分界线H时不仅需要分类准确，还要使分类间隔M（H₁和H₂之间的距离）最大^[14]，如图1所示。

图 1 线性可分情况下的最优分类线^[14]

Figure 1. Optimal classification line in the case of linear separability^[14]

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线性不可分情况下，SVM的主要思想是将输入向量 ${{x}}$ 映射到一个高维的特征向量空间，用特征向量 $\phi ({{x}})$ 来代替，从而得到最优分类函数。由于在运算过程中，无论是目标函数还是决策函数都只涉及到训练样本之间的内积运算，而原空间的核函数 $K\left( {{{{x}}_i},{{{x}}_j}} \right)$ 可以取代该内积运算，因此可通过选择合适的核函数完成从线性问题到非线性问题的推广^[14]。

支持向量机回归算法（support vector regression，SVR）是SVM的衍生算法，其本质是需要寻求一个最优超平面，使所有样本点与该超平面的总体偏差最小^[15]。也就是说，对于一个容量为n的样本集：

$T = \left\{ {\left( {{{{x}}_i}, {y_i}} \right), i = 1, {{2, }}\cdots, \left. n \right\}} \right.,{{{x}}_i} \in {R^d}, {y_i} \in R$

(1)

式中： $i$ 为样本序号；d为 ${{{x}}_i}$ 的维数。

需要寻找一个最优回归函数f，使 $f({{{x}}_i})$ 尽可能接近对应的样本值 ${y_i}$ 。

通过构造Lagrange函数，将支持向量机回归问题转化为凸二次规划寻优的对偶问题^[15]：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\max }\limits_{{{w}}, b} {{ }}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{y_i}(a_i^ * - a_i^{}) - \varepsilon (a_i^ * + a_i^{})} \right]} - \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {\left[ {(a_i^ * - a_i^{})K\left( {{{{x}}_i}, {{{x}}_j}} \right)(a_j^ * - a_j^{})} \right]} } }\\ {{\rm{s}}{\rm{.t}}{{. }}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {(a_i^ * - a_i^{}) = 0 {\text{　}}{{ 0}} \leqslant a_i^ * , a_i^{} \leqslant C, {{ }}i = 1, 2, \cdots, n} } \end{array}} \right.$

(2)

$\!\;\!{\text{其中}}\quad\qquad K\left( {{{{x}}_i}, {{{x}}_j}} \right) = \exp {\left( - \frac{{{{\left\| {{{{x}}_i} - {{{x}}_j}} \right\|}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}\right)^{}}\quad\quad$

(3)

式中：C为惩罚因子，是一个大于0的常数； $a_i^{}$ ， $a_i^ *$ ， $a_j^{}$ 和 $a_j^ *$ 为Lagrange乘子； $\varepsilon$ 为不敏感系数； $K({{{x}}_i}, {{{x}}_j})$ 为径向基核函数^[15]； $\sigma$ 为核函数参数。

若问题的解为 $a_{i{\rm{o}}}$ 、 $a_{i{\rm{o}}}^ *$ ，则相应的回归函数为^[15]：

$f({{x}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {(a_{{i{\rm{o}}}}^ * - a_{i{\rm{o}}}^{})} K\left( {{{{x}}_i}, {{{x}}_j}} \right) + {b_{\rm{o}}}$

(4)

式中： ${b_{\rm{o}}}$ 为回归参数值。

式（4）即为基于径向基核函数的 $\varepsilon {\rm{ - SVR}}$ 模型。

$\varepsilon {\rm{ - SVR}}$ 模型的回归效果主要受核函数参数 $\sigma$ 、不敏感系数 $\varepsilon$ 及惩罚因子 $C$ 等参数的影响^[16–17]。通过比较各种参数优选的方法，选用网络搜索法进行参数寻优^[18]，以训练样本均方根误差（root mean squared error，RMSE）最小作为寻优标准，即：

$\mathop {\min }\limits_{\sigma , C, \varepsilon } \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {f\left( {{{{x}}_i}} \right) - {y_i}} \right)}^2}} }$

(5)

式中： $f\left( {{{{x}}_i}} \right)$ 为预测值。

基于Matlab软件，可以实现程序运算，具体运算框图见图2。

图 2 ε–SVR模型的MATLAB程序实现

Figure 2. MATLAB program implementation of the ε–SVR Model

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2. SVM实验样本构建

为了利用SVM方法实现非均匀地应力和套管不居中情况下套管最大应力的预测，必须建立实验样本。由于实际的“套管–水泥环–地层”系统及其受载十分复杂，这些样本无法用真正的实验方法构建，为此利用ANSYS有限元方法进行“实验样本”的构建。关于“套管–水泥环–地层”系统的有限元分析已十分成熟，也已经过实际数据的验证。这种有限元分析的一个特点是在弹性条件下计算套管的应力，最后根据应力大小和套管的强度来确定套管是否失效^[19]。本文的“实验样本”也基于弹性条件进行构建。

影响“套管–水泥环–地层”系统套管应力的因素很多，包括套管的类型和尺寸、最大及最小水平地应力、钻井液密度、水泥环的弹性模量及泊松比、地层的弹性模量及泊松比、套管偏心距和偏心角。关于地应力的影响，有不同的观点，但对于刚钻穿盐膏层的井筒来说，由于应力释放需要较长的时间，因此在一定时间段内，套管将会承受非均匀地应力的作用。同时，研究表明，最大应力一般出现在偏心角为90°或270°的方向^[20]。为了减少模型变量，提高预测效率，在构建“实验样本”时，将偏心角固定为90°。同时，当套管给定时，其类型和尺寸都将确定。因此，针对给定套管进行应力预测时，将主要包含最大地应力、最小地应力和水泥环特性等8个关键影响因素。由于实际情况非常复杂，很难确定上述影响因素的合理范围，因此采用了文献调研和实际调查的方法，确定了影响因素的近似取值范围，见表1^[21–22]。

表 1 主要影响因素及取值范围

Table 1. Main influencing factors and range of values

影响因素	取值范围
最大水平主应力σ_H/MPa	80～135
最小水平主应力σ_h/MPa	30～80
钻井液密度ρ_f/（kg∙L^–1）	1.15～2.05
水泥环的弹性模量E_c/GPa	10～60
水泥环的泊松比μ_c	0.15～0.35
地层的弹性模量E_s/GPa	1～30
地层的泊松比μ_s	0.10～0.30
套管偏心距δ/mm	1.5～25.7

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某典型的“套管–水泥环–地层”系统如图3所示，井眼直径为311.1 mm，套管内径为219.0 mm，套管外径为250.8 mm。假设套管在井眼中的偏心距为δ，偏心方位角为φ，最大水平主应力σ_H沿x方向，最小水平主应力σ_h沿y方向。对几何模型进行单元划分，单元类型选择二维四边形PLANE183单元，按内密外疏的方式划分网格。划分后的网格如图4所示，共计6 215单元，18 953节点。对其施加载荷及约束，偏心方位角固定为90°，分别计算不同偏心距时的套管von Mises应力分布及其最大值。

图 3 套管–水泥环–地层系统几何模型

Figure 3. Geometry model for casing, cement sheath and formation

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图 4 套管–水泥环–地层系统有限元模型

Figure 4. Finite element model for casing, cement sheath and formation

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某一工况下对应的计算参数：偏心距为1.5 mm，σ_H 为92.0 MPa，σ_h为59.0 MPa，地层弹性模量和泊松比分别为30 GPa和0.27，水泥环的弹性模量和泊松比分别为35 GPa和0.17，套管的弹性模量和泊松比分别为210 GPa和0.30，钻井液密度为1.64 kg/L，对应井深为4 995.00 m，钻井液静液柱产生的内压约8.03 MPa。地层用以井筒为中心、边长为3.00 m的正方形代替，该工况下的套管内壁von Mises应力云图见图5。从图5可以看出，套管内壁沿y方向（即最小水平主应力方向）的von Mises应力最大达321 MPa。

图 5 套管内壁von Mises应力云图

Figure 5. von Mises stress cloud diagram on the casing inner wall

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类似地，可计算得到其他99个“实验样本”数据的最大von Mises应力，因样本数量较大，只给出了1～10号和91～100号样本计算结果（见表2），并将1～95号样本作为训练样本，96～100号样本作为测试样本。为了避免人为干扰，计算过程中，每一个因素的取值都采用随机方法。

表 2 SVM“实验样本”数据

Table 2. Data of the SVM “experimental samples”

序号	ρ_f/（kg∙L^–1）	E_c/GPa	μ_c	E_s/GPa	μ_s	σ_H/MPa	σ_h/MPa	δ/mm	σ_v/MPa
1	1.73	35.00	0.26	15.70	0.25	55.00	107.50	25.7	642.24
2	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	1.5	766.62
3	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	11.2	768.59
4	1.23	38.57	0.18	17.74	0.31	37.14	80.00	1.5	458.83
5	1.48	20.71	0.32	25.91	0.23	51.43	127.14	20.8	754.53
6	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	6.3	767.72
7	1.48	20.71	0.32	25.91	0.23	51.43	127.14	11.2	754.29
8	2.05	42.14	0.35	23.87	0.16	65.71	111.43	1.5	487.51
9	1.73	35.00	0.26	9.57	0.40	51.43	127.14	25.7	1 008.85
10	1.81	27.86	0.17	7.53	0.34	44.29	103.57	1.5	835.23
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
91	1.89	24.29	0.24	21.83	0.10	33.57	99.64	16.0	550.76
92	1.15	56.43	0.29	11.61	0.12	76.43	115.36	25.7	957.12
93	1.73	35.00	0.26	9.57	0.40	51.43	127.14	6.3	1 006.05
94	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	16.0	769.33
95	1.23	17.14	0.15	30.00	0.36	65.71	111.43	6.3	468.30
96	1.73	10.00	0.30	21.83	0.10	55.00	107.50	25.7	586.98
97	1.48	60.00	0.21	7.53	0.34	62.14	131.07	16.0	1 192.18
98	1.48	60.00	0.21	7.53	0.34	62.14	131.07	20.8	1 195.77
99	1.40	38.57	0.18	13.66	0.19	37.14	80.00	20.8	531.50
100	1.97	24.29	0.24	5.49	0.27	76.43	115.36	25.7	862.73

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3. 套管最大von Mises应力预测及精度分析

基于SVM的非均匀地应力条件下不居中套管最大应力预测，关键在于确定 $\varepsilon {\rm{ - SVR}}$ 模型的3个核心参数，即 $\sigma$ 、 $\varepsilon$ 和 $C$ 的寻优，这需要在一定范围内对3个参数进行搜索。笔者选择 $\sigma$ 的范围为[0.1，3.0]，搜索步长为0.01； $\varepsilon$ 的范围为[0.01，3.05]，搜索步长为0.05； $C$ 的范围为[1，10]，搜索步长为0.1。经参数寻优，最佳的 $\sigma$ 、 $\varepsilon$ 和 $C$ 值分别为2.01、0.01和3.00。基于这3个模型参数，预测得到表2中96～100号参数对应的最大应力值（见表3和图6）。为了比较，同时列出了对应的样本值。

表 3 测试样本的预测结果

Table 3. Predictive effect of test samples

样本序号	模型参数	最大von Mises应力/MPa		绝对误差/MPa	相对误差，%	平均相对误差，%
样本序号	模型参数	样本值	预测值	绝对误差/MPa	相对误差，%	平均相对误差，%
96	$\sigma$ =2.01 $\varepsilon$ =0.01 $C$ =3.00	586.98	603.21	16.23	2.76	1.32
97		1 192.18	1 200.54	8.36	0.70
98		1 195.77	1 207.74	11.97	1.00
99		531.50	530.85	–0.65	–0.12
100		862.73	845.36	–17.37	–2.01

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图 6 预测值和样本值对比结果

Figure 6. Comparison of predicted and sample values

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从图6可以看出，95个训练样本的预测结果和样本值基本重合，表明训练样本的拟合精度很高。5个测试样本的相对误差分别为2.76%、0.70%、1.00%、–0.12%和–2.01%，平均相对误差仅为1.32%。可见，利用SVM方法，可以快速预测非均匀地应力条件下不居中套管的最大von Mises应力。

4. 结论与建议

1）非均匀地应力条件下，目前主要采用有限元分析方法求解不居中套管的应力，缺少数值解，给套管强度校核带来了不便。利用基于SVM的智能预测方法可以解决这一难题，为实际套管应力预测提供了一种新的方法。

2）基于径向基函数的 $\varepsilon - {\rm{SVR}}$ 模型的预测精度较高，测试样本预测值与“实验样本”“真实值”的平均相对误差仅为1.32%。

3）在已知影响因素合理范围内，利用有限元分析方法可以获得大量的“实验样本”，不但成本低，而且速度快，为利用SVM方法解决套管应力预测难题提供了有效手段。

4）本文仅以一种套管为例进行了最大von Mises应力SVM预测，对于其他种类套管，需要重新进行“实验样本”计算和 $\varepsilon - {\rm{SVR}}$ 模型关键参数寻优。在保证计算获得的“实验样本”准确可靠的前提下，可以采用该方法预测各种套管的最大von Mises应力。

图 1 牙齿刮切过程

Figure 1. Tooth scraping process

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图 2 牙齿刮切痕迹

Figure 2. Tooth scraping marks

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图 3 楔形牙齿的偏转角

Figure 3. Deflection angle of wedge-shaped tooth

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图 4 不同偏转角楔形牙齿的刮切体积（偏转角步长10°）

Figure 4. Scraping volume of wedge-shaped teeth with different deflection angles (with a deflection angle step of 10° )

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图 5 不同偏转角楔形牙齿的刮切体积（偏转角步长1°）

Figure 5. Scraping volume of wedge-shaped teeth with different deflection angles(with a deflection angle step of 1°)

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图 6 不同牙齿偏转角单牙轮钻头机械钻速与钻压的关系

Figure 6. Relationship between rate of penetration and weight-on-bit of single-cone bits with different tooth deflection angles

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1. SVM原理及其Matlab实现
2. SVM实验样本构建
3. 套管最大von Mises应力预测及精度分析
4. 结论与建议

单牙轮钻头楔形牙齿偏转角优化方法

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