An Prediction Method for Determining the Maximum von Mises Stress in Casing Based on SVM
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摘要:
为了预测非均匀地应力条件下不居中套管的最大应力,提高套管安全性,研究了基于支持向量机(SVM)的套管最大von Mises应力预测方法。首先确定了影响套管最大应力的关键因素,包括非均匀地应力、水泥环的弹性模量及泊松比、套管偏心距等8个因素;然后利用ANSYS软件构建了套管应力实验样本;最后建立了
ε−SVR 模型,实现了套管最大应力的预测。通过自学习,基于径向基核函数的SVM回归方法对于训练样本达到了很好的精度,5个测试样本的平均相对误差仅为1.32%,具有较好的预测精度,满足工程需求,且可以实现非均匀地应力条件下不居中套管最大应力的快速求解。研究结果为现场安全施工提供了理论依据。-
关键词:
- 支持向量机 /
- 非均匀地应力 /
- 套管偏心距 /
- von Mises应力
Abstract:In order to predict the maximum stress of uncentered casing under non-uniform in-situ stress and improve the safety of casing, a prediction method of casing’s maximum von Mises stress based on artificial intelligence SVM is studied. First, the key factors affecting the maximum stress of casing are determined, including non-uniform geologic stress, elastic modulus and Poisson's ratio of cement sheath, eccentricity of casing, etc. Then the "experimental" samples of casing stress are constructed by using ANSYS software. Finally the
ε−SVR model is established to realize the prediction of casing’s maximum stress. Through self-learning, the SVM regression method based on RBF kernel achieves good accuracy for training samples. For the five test samples, the average relative error is only 1.32%, which means that this method can meet the needs of engineering application. In particular, this method can be used to quickly solve the maximum stress of uncentered casing under non-uniform in-situ stress.The research results provide theoretical basis for site safety construction. -
随着超深井、定向井、水平井的逐渐增多,复杂载荷作用下套管的应力计算问题越来越受到关注。目前的研究主要针对居中套管(包括偏磨)在均匀和非均匀地应力条件下的强度计算[1–9],但在非均匀地应力条件下无法求得不居中套管应力的解析解,W. J. Rodriguez[10],P. D. Pattillo[11]和A. Nabipour[12]等人利用有限元方法进行了研究,只有窦益华[13]讨论了解析求解方法,提出了解决此类问题的新思路。在实际工程中,由于所遇情况复杂多变,常常需要针对不同对象进行有限元建模和分析,所需周期长,很难满足快速、实时解决问题的要求。为此,笔者提出了一种基于支持向量机(support vector machine,SVM)的非均匀地应力条件下不居中套管最大von Mises应力的快速预测方法,并对ϕ311.1 mm垂直井眼中的套管进行了分析研究。
1. SVM原理及其Matlab实现
SVM是一种基于统计学习理论的机器学习算法,通过寻求结构风险最小化来实现实际风险的最小化,在有限信息条件下得到最优结果[14],在解决小样本、非线性和高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。SVM可以作为一种广义的线性分类器,它的原理是利用非线性变换将输入空间变换到一个高维的特征空间,并在新的空间寻找最优线性分界面。线性可分的情况下,为确保经验风险最小,选取最优分界线H时不仅需要分类准确,还要使分类间隔M(H1和H2之间的距离)最大[14],如图1所示。
线性不可分情况下,SVM的主要思想是将输入向量
x 映射到一个高维的特征向量空间,用特征向量ϕ(x) 来代替,从而得到最优分类函数。由于在运算过程中,无论是目标函数还是决策函数都只涉及到训练样本之间的内积运算,而原空间的核函数K(xi,xj) 可以取代该内积运算,因此可通过选择合适的核函数完成从线性问题到非线性问题的推广[14]。支持向量机回归算法(support vector regression,SVR)是SVM的衍生算法,其本质是需要寻求一个最优超平面,使所有样本点与该超平面的总体偏差最小[15]。也就是说,对于一个容量为n的样本集:
T={(xi,yi),i=1,2,⋯,n},xi∈Rd,yi∈R (1) 式中:
i 为样本序号;d为xi 的维数。需要寻找一个最优回归函数f,使
f(xi) 尽可能接近对应的样本值yi 。通过构造Lagrange函数,将支持向量机回归问题转化为凸二次规划寻优的对偶问题[15]:
{max (2) \!\;\!{\text{其中}}\quad\qquad K\left( {{{{x}}_i}, {{{x}}_j}} \right) = \exp {\left( - \frac{{{{\left\| {{{{x}}_i} - {{{x}}_j}} \right\|}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}\right)^{}}\quad\quad (3) 式中:C为惩罚因子,是一个大于0的常数;
a_i^{} ,a_i^ * ,a_j^{} 和a_j^ * 为Lagrange乘子;\varepsilon 为不敏感系数;K({{{x}}_i}, {{{x}}_j}) 为径向基核函数[15];\sigma 为核函数参数。若问题的解为
a_{i{\rm{o}}} 、a_{i{\rm{o}}}^ * ,则相应的回归函数为[15]:f({{x}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {(a_{{i{\rm{o}}}}^ * - a_{i{\rm{o}}}^{})} K\left( {{{{x}}_i}, {{{x}}_j}} \right) + {b_{\rm{o}}} (4) 式中:
{b_{\rm{o}}} 为回归参数值。式(4)即为基于径向基核函数的
\varepsilon {\rm{ - SVR}} 模型。\varepsilon {\rm{ - SVR}} 模型的回归效果主要受核函数参数\sigma 、不敏感系数\varepsilon 及惩罚因子C 等参数的影响[16–17]。通过比较各种参数优选的方法,选用网络搜索法进行参数寻优[18],以训练样本均方根误差(root mean squared error,RMSE)最小作为寻优标准,即:\mathop {\min }\limits_{\sigma , C, \varepsilon } \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {f\left( {{{{x}}_i}} \right) - {y_i}} \right)}^2}} } (5) 式中:
f\left( {{{{x}}_i}} \right) 为预测值。基于Matlab软件,可以实现程序运算,具体运算框图见图2。
2. SVM实验样本构建
为了利用SVM方法实现非均匀地应力和套管不居中情况下套管最大应力的预测,必须建立实验样本。由于实际的“套管–水泥环–地层”系统及其受载十分复杂,这些样本无法用真正的实验方法构建,为此利用ANSYS有限元方法进行“实验样本”的构建。关于“套管–水泥环–地层”系统的有限元分析已十分成熟,也已经过实际数据的验证。这种有限元分析的一个特点是在弹性条件下计算套管的应力,最后根据应力大小和套管的强度来确定套管是否失效[19]。本文的“实验样本”也基于弹性条件进行构建。
影响“套管–水泥环–地层”系统套管应力的因素很多,包括套管的类型和尺寸、最大及最小水平地应力、钻井液密度、水泥环的弹性模量及泊松比、地层的弹性模量及泊松比、套管偏心距和偏心角。关于地应力的影响,有不同的观点,但对于刚钻穿盐膏层的井筒来说,由于应力释放需要较长的时间,因此在一定时间段内,套管将会承受非均匀地应力的作用。同时,研究表明,最大应力一般出现在偏心角为90°或270°的方向[20]。为了减少模型变量,提高预测效率,在构建“实验样本”时,将偏心角固定为90°。同时,当套管给定时,其类型和尺寸都将确定。因此,针对给定套管进行应力预测时,将主要包含最大地应力、最小地应力和水泥环特性等8个关键影响因素。由于实际情况非常复杂,很难确定上述影响因素的合理范围,因此采用了文献调研和实际调查的方法,确定了影响因素的近似取值范围,见表1[21–22]。
表 1 主要影响因素及取值范围Table 1. Main influencing factors and range of values影响因素 取值范围 最大水平主应力σH/MPa 80~135 最小水平主应力σh/MPa 30~80 钻井液密度ρf/(kg∙L–1) 1.15~2.05 水泥环的弹性模量Ec/GPa 10~60 水泥环的泊松比μc 0.15~0.35 地层的弹性模量Es/GPa 1~30 地层的泊松比μs 0.10~0.30 套管偏心距δ/mm 1.5~25.7 某典型的“套管–水泥环–地层”系统如图3所示,井眼直径为311.1 mm,套管内径为219.0 mm,套管外径为250.8 mm。假设套管在井眼中的偏心距为δ,偏心方位角为φ,最大水平主应力σH沿x方向,最小水平主应力σh沿y方向。对几何模型进行单元划分,单元类型选择二维四边形PLANE183单元,按内密外疏的方式划分网格。划分后的网格如图4所示,共计6 215单元,18 953节点。对其施加载荷及约束,偏心方位角固定为90°,分别计算不同偏心距时的套管von Mises应力分布及其最大值。
某一工况下对应的计算参数:偏心距为1.5 mm,σH 为92.0 MPa,σh为59.0 MPa,地层弹性模量和泊松比分别为30 GPa和0.27,水泥环的弹性模量和泊松比分别为35 GPa和0.17,套管的弹性模量和泊松比分别为210 GPa和0.30,钻井液密度为1.64 kg/L,对应井深为4 995.00 m,钻井液静液柱产生的内压约8.03 MPa。地层用以井筒为中心、边长为3.00 m的正方形代替,该工况下的套管内壁von Mises应力云图见图5。从图5可以看出,套管内壁沿y方向(即最小水平主应力方向)的von Mises应力最大达321 MPa。
类似地,可计算得到其他99个“实验样本”数据的最大von Mises应力,因样本数量较大,只给出了1~10号和91~100号样本计算结果(见表2),并将1~95号样本作为训练样本,96~100号样本作为测试样本。为了避免人为干扰,计算过程中,每一个因素的取值都采用随机方法。
表 2 SVM“实验样本”数据Table 2. Data of the SVM “experimental samples”序号 ρf/(kg∙L–1) Ec/GPa μc Es/GPa μs σH/MPa σh/MPa δ/mm σv/MPa 1 1.73 35.00 0.26 15.70 0.25 55.00 107.50 25.7 642.24 2 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 1.5 766.62 3 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 11.2 768.59 4 1.23 38.57 0.18 17.74 0.31 37.14 80.00 1.5 458.83 5 1.48 20.71 0.32 25.91 0.23 51.43 127.14 20.8 754.53 6 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 6.3 767.72 7 1.48 20.71 0.32 25.91 0.23 51.43 127.14 11.2 754.29 8 2.05 42.14 0.35 23.87 0.16 65.71 111.43 1.5 487.51 9 1.73 35.00 0.26 9.57 0.40 51.43 127.14 25.7 1 008.85 10 1.81 27.86 0.17 7.53 0.34 44.29 103.57 1.5 835.23 … … … … … … … … … … 91 1.89 24.29 0.24 21.83 0.10 33.57 99.64 16.0 550.76 92 1.15 56.43 0.29 11.61 0.12 76.43 115.36 25.7 957.12 93 1.73 35.00 0.26 9.57 0.40 51.43 127.14 6.3 1 006.05 94 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 16.0 769.33 95 1.23 17.14 0.15 30.00 0.36 65.71 111.43 6.3 468.30 96 1.73 10.00 0.30 21.83 0.10 55.00 107.50 25.7 586.98 97 1.48 60.00 0.21 7.53 0.34 62.14 131.07 16.0 1 192.18 98 1.48 60.00 0.21 7.53 0.34 62.14 131.07 20.8 1 195.77 99 1.40 38.57 0.18 13.66 0.19 37.14 80.00 20.8 531.50 100 1.97 24.29 0.24 5.49 0.27 76.43 115.36 25.7 862.73 3. 套管最大von Mises应力预测及精度分析
基于SVM的非均匀地应力条件下不居中套管最大应力预测,关键在于确定
\varepsilon {\rm{ - SVR}} 模型的3个核心参数,即\sigma 、\varepsilon 和C 的寻优,这需要在一定范围内对3个参数进行搜索。笔者选择\sigma 的范围为[0.1,3.0],搜索步长为0.01;\varepsilon 的范围为[0.01,3.05],搜索步长为0.05;C 的范围为[1,10],搜索步长为0.1。经参数寻优,最佳的\sigma 、\varepsilon 和C 值分别为2.01、0.01和3.00。基于这3个模型参数,预测得到表2中96~100号参数对应的最大应力值(见表3和图6)。为了比较,同时列出了对应的样本值。表 3 测试样本的预测结果Table 3. Predictive effect of test samples样本序号 模型参数 最大von Mises应力/MPa 绝对误差/MPa 相对误差,% 平均相对误差,% 样本值 预测值 96 \sigma =2.01
\varepsilon =0.01
C=3.00586.98 603.21 16.23 2.76 1.32 97 1 192.18 1 200.54 8.36 0.70 98 1 195.77 1 207.74 11.97 1.00 99 531.50 530.85 –0.65 –0.12 100 862.73 845.36 –17.37 –2.01 从图6可以看出,95个训练样本的预测结果和样本值基本重合,表明训练样本的拟合精度很高。5个测试样本的相对误差分别为2.76%、0.70%、1.00%、–0.12%和–2.01%,平均相对误差仅为1.32%。可见,利用SVM方法,可以快速预测非均匀地应力条件下不居中套管的最大von Mises应力。
4. 结论与建议
1)非均匀地应力条件下,目前主要采用有限元分析方法求解不居中套管的应力,缺少数值解,给套管强度校核带来了不便。利用基于SVM的智能预测方法可以解决这一难题,为实际套管应力预测提供了一种新的方法。
2)基于径向基函数的
\varepsilon - {\rm{SVR}} 模型的预测精度较高,测试样本预测值与“实验样本”“真实值”的平均相对误差仅为1.32%。3)在已知影响因素合理范围内,利用有限元分析方法可以获得大量的“实验样本”,不但成本低,而且速度快,为利用SVM方法解决套管应力预测难题提供了有效手段。
4)本文仅以一种套管为例进行了最大von Mises应力SVM预测,对于其他种类套管,需要重新进行“实验样本”计算和
\varepsilon - {\rm{SVR}} 模型关键参数寻优。在保证计算获得的“实验样本”准确可靠的前提下,可以采用该方法预测各种套管的最大von Mises应力。 -
表 1 主要影响因素及取值范围
Table 1 Main influencing factors and range of values
影响因素 取值范围 最大水平主应力σH/MPa 80~135 最小水平主应力σh/MPa 30~80 钻井液密度ρf/(kg∙L–1) 1.15~2.05 水泥环的弹性模量Ec/GPa 10~60 水泥环的泊松比μc 0.15~0.35 地层的弹性模量Es/GPa 1~30 地层的泊松比μs 0.10~0.30 套管偏心距δ/mm 1.5~25.7 表 2 SVM“实验样本”数据
Table 2 Data of the SVM “experimental samples”
序号 ρf/(kg∙L–1) Ec/GPa μc Es/GPa μs σH/MPa σh/MPa δ/mm σv/MPa 1 1.73 35.00 0.26 15.70 0.25 55.00 107.50 25.7 642.24 2 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 1.5 766.62 3 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 11.2 768.59 4 1.23 38.57 0.18 17.74 0.31 37.14 80.00 1.5 458.83 5 1.48 20.71 0.32 25.91 0.23 51.43 127.14 20.8 754.53 6 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 6.3 767.72 7 1.48 20.71 0.32 25.91 0.23 51.43 127.14 11.2 754.29 8 2.05 42.14 0.35 23.87 0.16 65.71 111.43 1.5 487.51 9 1.73 35.00 0.26 9.57 0.40 51.43 127.14 25.7 1 008.85 10 1.81 27.86 0.17 7.53 0.34 44.29 103.57 1.5 835.23 … … … … … … … … … … 91 1.89 24.29 0.24 21.83 0.10 33.57 99.64 16.0 550.76 92 1.15 56.43 0.29 11.61 0.12 76.43 115.36 25.7 957.12 93 1.73 35.00 0.26 9.57 0.40 51.43 127.14 6.3 1 006.05 94 1.48 38.57 0.18 25.91 0.23 40.71 123.21 16.0 769.33 95 1.23 17.14 0.15 30.00 0.36 65.71 111.43 6.3 468.30 96 1.73 10.00 0.30 21.83 0.10 55.00 107.50 25.7 586.98 97 1.48 60.00 0.21 7.53 0.34 62.14 131.07 16.0 1 192.18 98 1.48 60.00 0.21 7.53 0.34 62.14 131.07 20.8 1 195.77 99 1.40 38.57 0.18 13.66 0.19 37.14 80.00 20.8 531.50 100 1.97 24.29 0.24 5.49 0.27 76.43 115.36 25.7 862.73 表 3 测试样本的预测结果
Table 3 Predictive effect of test samples
样本序号 模型参数 最大von Mises应力/MPa 绝对误差/MPa 相对误差,% 平均相对误差,% 样本值 预测值 96 \sigma =2.01
\varepsilon =0.01
C=3.00586.98 603.21 16.23 2.76 1.32 97 1 192.18 1 200.54 8.36 0.70 98 1 195.77 1 207.74 11.97 1.00 99 531.50 530.85 –0.65 –0.12 100 862.73 845.36 –17.37 –2.01 -
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