致密储层非均质性强，天然裂缝普遍发育，水平井压裂为其常用开发手段，因此，各尺度裂缝是此类储层油气运移的主要通道^[1-3]。生产过程中，有效应力随流体压力减小而增大，造成储层渗透率降低，表现为应力敏感性^[4-6]。目前的研究表明，基质和裂缝的应力敏感性存在显著差异^[7-9]，因此采用不同的应力敏感模型表征基质系统和裂缝系统^[10-13]。张烈辉等人^[14]基于嵌入式离散裂缝模型（EDFM），建立了考虑重力和应力敏感的单相水平井三维模型，采用指数式模型表征基质系统应力敏感。Xu Yifeng等人^[15]基于EDFM，利用指数式应力敏感模型表征基质系统和裂缝系统的应力敏感。Wang Bin等人^[16]利用拟合的经验公式，考虑了压裂裂缝和天然裂缝的应力敏感。但现有的模型忽略了基质系统以及裂缝系统的非均质性，实质上储层的物性差异将直接导致基质和裂缝的应力敏感性存在差异，即基质系统和裂缝系统并不遵循单一应力敏感规律，而是与物性相关^[17]。

储层应力敏感性研究的关键是如何表征复杂裂缝和如何耦合非均质导致的非单一应力敏感性。笔者利用基于投影的嵌入式离散裂缝模型（pEDFM）表征复杂裂缝，结合Hertz接触变形应力敏感模型，建立了同时考虑基质和裂缝非均质的应力敏感数值模型，该模型可根据储层物性差异自适应获得多级应力敏感特征曲线。通过与经典指数模型的对比验证了模型的可行性，明确了基质系统和裂缝系统的应力敏感性对产能的影响，分析了强非均质储层以及多尺度裂缝对产能的影响。

1.   致密储层多尺度裂缝划分

致密储层中的天然裂缝及压裂裂缝受岩石力学性质、构造应力、致密储层厚度及后期压裂改造等因素影响，通常具有多尺度性，不同尺度裂缝对渗流系统的影响具有明显差异。根据裂缝的规模，将其划分为大尺度裂缝（缝长百米级以上，缝宽百微米级至毫米级）、中尺度裂缝（缝长数十米级至百米级，缝宽百微米级）、小尺度裂缝（缝长米级至十米级，缝宽小于百微米级）及微尺度裂缝^[18]。由于微尺度裂缝会造成复杂的网格剖分，增加计算成本，因此将微尺度裂缝造成的物性差异等效为储层非均质性。致密储层经过规模压裂改造后，可以产生不同尺度的压裂裂缝（见图1）。

图  1  致密储层多尺度裂缝示意

Figure  1.  Multi-scale fractures in tight reservoirs

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2.   自适应应力敏感数值模型的建立与求解

为建立自适应应力敏感数学模型，进行了如下假设：1）三维致密储层中，烃类流体以液相或气相存在，且不与水相产生质量交换；2）考虑储层非均质性；3）考虑基质、压裂裂缝和天然裂缝的非单一应力敏感效应；4）考虑不规则裂缝及产状特征。

2.1   多相流动模型

烃类流体以气相或液相存在，其质量守恒方程可表示为^[19]：

式中：$\phi$为孔隙度；${\rho }_{\rm l}$为液相密度，kg/m³；${\rho }_{\rm g}$为气相密度，kg/m³；${S}_{\rm l}$为液相饱和度；${S}_{\rm g}$为气相饱和度； ${x}_{i}$为i组分在液相中的质量分数；${y}_{i}$为i组分在气相中的质量分数；$v_{\rm l}$为液相的渗流速度，m/s；$v_{\rm g}$为气相的渗流速度，m/s；${q}_{\rm l}$为液相的源汇项，m³/s；${q}_{\rm g}$为气相的源汇项，m³/s；$V$为烃类流体体积，m³。

如果存在水相，则其质量守恒方程为：

式中：下标w表示水相。

烃类流体的渗流速度为：

式中：$K$为渗透率，mD；${K}_{\rm r}$为烃类流体的相对渗透率；$\mu$为烃类流体黏度，mPa·s；$p$为烃类流体压力，MPa；H为海拔高度，m；${g}$为重力加速度，m/s²。

为得到各组分质量分数，求解以下闪蒸方程：

式中：${f}_{\rm g}^{i}$为气相中i组分的逸度；${f}_{\rm l}^{i}$为液相中i组分的逸度；${z}_{i}$为i组分的总质量分数；$T$为温度，K；$L$为液相在两相中的摩尔比。

考虑应力敏感效应时，式（3）中的渗透率表示为：

式中：${K}_{0}$为初始渗透率，mD；$\xi$为考虑物性特征的渗透率保留率，由自适应应力敏感模型获得。

2.2   自适应应力敏感模型

通常利用实验数据拟合得到经验公式，由于样本的局限和实验的误差，无法准确表征应力敏感。现有数值模型很少能实现根据储层物性的差异自适应获得应力敏感特性。假设组成储层的最小单元为岩石颗粒，颗粒的性质、数量、大小和排列等造成物性差异。压裂裂缝中通常包含支撑剂，可以将支撑剂假设为颗粒单元。对于完全开启的裂缝，可以理解为几乎没有颗粒充填，因此颗粒的组成差异造成基质和裂缝的物性差异（见图2）。应力敏感的强弱与储层的初始物性密切相关，即物性不同，应力敏感效应存在明显差异。

图  2  基质系统和裂缝系统颗粒组成示意

Figure  2.  Particle compositions of matrix and fracture systems

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基于以上假设，结合Hertz接触变形理论，建立了自适应多级应力敏感数值模型，颗粒接触变形情况如图3所示^[20]（F为作用于颗粒的力，N），该力是物性发生变化的主要原因。

图  3  两圆球体接触 Hertz 变形示意^[20]

Figure  3.  Hertz deformation of two spheres in contact

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生产过程中的有效应力为^[20]：

式中：$\sigma$为有效应力，MPa；${\sigma }_{0}$ 为初始有效应力，MPa；${\sigma }_{\rm c}$ 为上覆岩石压力，MPa；b为颗粒变形后球心距接触面的垂直距离，mm；$\varepsilon$为有效应力系数。

则渗透率保留率为：

式中：$A$和${A}'$分别为变形前后的孔隙渗流面积，mm²。

模拟生产过程中，流体压力不断减小，F即为有效应力增量所产生的力，是与数值模型耦合的关键参数，其定义为：

式中：$\Delta \sigma$为有效应力增量，MPa；${A}^{*}$为颗粒截面积，mm²。

该模型中的参数均具有物理意义，表征的应力敏感性能够根据储层物性实现自适应变化。考虑应力敏感时，区别于常规以系统的方式赋予基质系统和裂缝系统应力敏感系数，该模型可实现根据物性自适应获得每个数值网格的应力敏感特征。

2.3   多尺度裂缝模型

采用基于投影的嵌入式离散裂缝模型（pEDFM）对多尺度裂缝进行建模。该方法能够更准确表征低导流能力裂缝^[19,21]，其基本原理为判断裂缝面中心与相邻6个单元面（3对相对面）的距离是否在某一方向上相等，并将裂缝投影到3个相邻面，对传导率进行修正。承载裂缝的基质网格单元称为“宿主基质单元”。当裂缝面中心在3个方向等距时，根据上游优先准则，对原有pEDFM投影方式进行修正，裂缝面的投影流程如图4所示。

图  4  确定3个相邻面的投影流程

Figure  4.  Projection process of determining three adjacent surfaces

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对基质进行网格划分，然后将裂缝嵌入基质网格系统中，2种系统之间的窜流量以源汇项$\displaystyle\frac{{q}^{\rm nnc}}{V}$的形式添加到式（1）中，基质和裂缝间窜流量的表达式为：

式中：${q}_{\mathrm{f}-\mathrm{m}}^{\rm nnc}$为通过非相邻连接计算的基质和裂缝之间的窜流量，m³/s； ${T}_{\mathrm{f}-\mathrm{m}}^{\rm nnc}$为基质与裂缝的非相邻连接传导率系数；${K}^{\rm nnc}$为非相邻链接对的渗透率，即有效渗透率，mD；${A}^{\rm nnc}$为非相邻链接对的接触面积，即过流面积，m²；${d}^{\rm nnc}$为相关特征距离，m。

与普通的嵌入式离散裂缝模型相比，pEDFM增加了2类非相邻链接对^[19]，投影基质–裂缝（${T}_{\mathrm{p}\mathrm{m}-\mathrm{f}}^{\rm nnc}$）、投影基质–宿主基质（${T}_{\rm{p}\rm{m}-\rm{m}}^{\rm nnc}$）的传导率分别为：

式中：${A}_{{\rm{p}}}^{\rm nnc}$为非相邻连接对的投影面积，m²；${K}_{\rm{p}\rm{m}-\rm{f}}^{\rm nnc}$为投影基质与裂缝的非相邻连接对的渗透率，mD；${d}_{\rm{p}\rm{m}-\rm{f}}^{\rm nnc}$为裂缝面中心到投影面的距离，m； ${A}_{\rm t}^{{\rm{nnc}}}$为在同一“宿主基质单元”内存在多条裂缝时的各裂缝投影面积之和，m²；${T}_{\rm{m}-\rm{m}}^{\rm nnc}$为标准EDFM的基质与基质的传导率^[22]。

2.4   模型求解

利用开源MATLAB油藏仿真工具箱MRST求解^[23]，实现自动微分模块、组分模块、裂缝模块及自适应应力敏感模型的耦合。采用两点通量近似有限体积法离散控制方程；时间离散采用向后欧拉格式，非线性系统的雅可比矩阵采用自动微分法计算。对于复杂的多尺度裂缝系统，基于开源工具箱ADFNE^[24]，构建随机的具有一定产状的不规则天然裂缝，结合pEDFM对水力裂缝和天然裂缝进行表征。

3.   实例分析

3.1   模型验证

常规指数式应力敏感模型为：

式中：$\gamma$为应力敏感系数，MPa⁻¹；${p}_{{\rm{i}}}$为原始地层压力，MPa。

由于常规模型不能考虑非均质造成的应力敏感差异，因此需将上文建立的模型退化为均质模型进行验证分析。图5所示为压裂水平井网格，模型物理尺寸设置为1 300 m×250 m×100 m，基质渗透率0.01 mD，基质孔隙度0.1，压裂裂缝渗透率5 000 mD，缝宽0.3 mm，裂缝半长90 m，缝高50 m，压裂裂缝10条，水平井长度900 m，原始地层压力35 MPa，井底压力10 MPa，流体组分甲烷占99.1%，其他占0.9%。

图  5  压裂水平井网格示意

Figure  5.  Grids of fractured horizontal well

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退化后的均质模型参数和常规应力敏感模型相同，基质系统和裂缝系统分别遵循不同的应力敏感规律（见图6（a））。图6（b）、图6（c）分别为模拟得到的产气量曲线和累计产气量曲线。为定量分析应力敏感对产量的影响程度，定义产量损失率为：

图  6  模型验证模拟结果

Figure  6.  Simulation results of model validation

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式中：$\eta$为产气量损失率； $Q$为不考虑应力敏感的产气量，10⁴m³/d；${Q}'$为考虑应力敏感的产气量，10⁴m³/d。

采用式（17）计算所得产气量损失率，结果如图6（d）所示。

模拟结果表明，在均质条件下所建模型与常规模型结果基本一致，验证了所建模型的可行性。 生产早期，日产气出现明显下降，裂缝的应力敏感显著，随着生产进行，应力敏感对生产的主要影响逐渐从压裂裂缝过渡到基质，储层应力敏感性逐渐降低。其原因在于，生产早期压力下降较快，裂缝系统表现出较强的应力敏感性，渗透率损伤较大。随着生产进行，压力下降变小且裂缝逐渐闭合，因此应力敏感性逐渐降低。从图6（d）可以看出，初期裂缝的应力敏感性对产能的影响能够达到10%，基质应力敏感性的影响整体小于5%。

3.2   储层非均质性对产能的影响

致密储层非均质性强^[25]，为充分考虑物性差异造成的应力敏感差异，基于高斯随机分布得到满足一定概率分布的非均质孔隙度场，并设置2、3层网格为物性较好区域，如图7（a）、图7（b）所示。此时，由于每个基质网格物性存在差异，自适应应力敏感曲线如图7（c）所示，阴影区为基质的自适应应力敏感区。图7（d）为产气量曲线，结果表明，基质非均质性强时，早期产气量下降幅度更大；后期与均质储层产气量曲线基本重合，表明应力敏感已不明显，而非均质储层产气量曲线未重合，说明非均质储层应力敏感区持续的时间更长。这表明在研究非均质性较强的致密储层时，基质的应力敏感效应不能忽略。同时，也说明该模型能够反映强非均质基质的应力敏感特征。

图  7  非均质储层模拟结果

Figure  7.  Simulation results of heterogeneous reservoir

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3.3   多尺度裂缝分布对产能的影响

为模拟多尺度裂缝分布，基于ADFNE生成倾角和倾向均为45°的100条随机分散的不规则多尺度天然裂缝模型，俯视图如图8（a）所示。将该天然裂缝尺度缩小1/3后，天然裂缝紧密分布于近井压裂区，俯视图如图8（b）所示。根据多尺度裂缝划分，模型中主要包含大尺度裂缝（压裂裂缝）和中小尺度天然裂缝，假设天然裂缝开启，即未完全充填。为获得不同充填程度裂缝的应力敏感曲线，将文献[20]的试验结果转换为储层条件，拟合基质和半充填裂缝的应力敏感曲线，得到天然裂缝自适应应力敏感区（见图8（c））。井底流压分别设置为10和20 MPa，与无天然裂缝分布的储层进行对比，产气量曲线如图8（d）所示。

图  8  不同多尺度裂缝分布模拟结果

Figure  8.  Simulation results of multi-scale fracture distribution

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模型中设置的天然裂缝仅在尺度上存在差异，分散天然裂缝的产气量高于近井地带天然裂缝的产气量，这是因为分散裂缝的尺度更大，与生产井沟通程度更高，相应地对产能的贡献更大。因此，不同尺度天然裂缝在储层中的分布模式对产能有直接影响。如果天然裂缝与生产井的沟通程度不高，即使天然裂缝在生产井附近较为发育，其对产能的贡献也并不明显。与天然裂缝对产能的影响相比，生产压力对产能的影响更大。井底压力较高时，生产压差较小，应力敏感性降低，产量下降幅度减小；生产压差较大时，裂缝的应力敏感性增强，虽然初期产量较高，但由于产量下降速率较大，综合考虑，并不利于长期生产。此外，建议早期实施控压生产，以避免储层伤害。

4.   结论与建议

1）非均质条件下，不能忽略基质的应力敏感效应。生产早期阶段，裂缝应力敏感效应对产能的影响显著；进入生产后期，应力敏感效应对产能的影响从裂缝过渡到基质，且储层的应力敏感效应随着生产进行逐渐减小。

2）生产早期，生产压差过大，易造成储层伤害，建议实施控压生产。储层中的裂缝尺度越大，与生产井的沟通程度越高，对产能的贡献越大。

3）本文建立的模型能够从理论上分析储层非均质性对产能的影响，但未深入探究如何构建与实际储层相符的非均质储层模型，在今后的研究中需进一步完善构建非均质储层模型的方法。