近年来，超深井、特深井发展迅速，钻井深度不断增加，钻柱在井下的作业环境十分恶劣，其安全性面临极大的挑战。一般而言，钻柱失效的主要原因是钻柱振动引起交变应力状态，进而导致疲劳失效^[1–6]，说明钻柱的疲劳失效与钻柱交变应力状态关系密切。钻柱交变应力状态受空间挠曲井眼约束、钻柱–井壁碰撞、井下复杂激励等因素影响显著，如东海平湖油气田BA6S井钻井过程中，在造斜井段连续出现18根（次）疲劳刺漏情况，严重影响了钻井效率^[7]。为此，许多学者进行了相关研究，Wu Jiang等人^[8]基于横向振动方程，考虑井筒曲率计算了钻杆的最大弯曲应力，预测了钻柱的疲劳失效。李文飞等人^[9]基于经典弹性理论，计算了钻柱的Mises应力，分析了转速和钻压对钻柱疲劳强度的影响规律。Di Qinfeng等人^[10]基于钻柱动力学特性分析，研究了钻柱弯曲应力频率变化对钻柱动态疲劳失效风险的影响。P. J. Haagensen等人^[11–12]分析了钻杆疲劳失效与循环载荷水平、载荷循环次数的关系。同时，耿亚楠等人^[13–14]考虑裂纹扩展影响，预测了钻柱的疲劳寿命。

由以上分析可以看出，交变应力的准确计算是疲劳失效分析的基础。超深井钻柱具有超长细比特征，井眼的空间挠曲特征显著，加之上部大轴向力及复杂的井下激励，钻柱的动力学特性十分复杂，全井钻柱呈现出复杂的非对称循环交变应力状态。而目前关于钻柱疲劳失效的研究大多是从静态角度或者仅针对BHA、局部钻柱在某种振动形式单独作用下的疲劳失效进行分析。实际上，超深井钻柱动力系统是具有几何非线性和接触非线性的耦合振动系统^[15]，因此，有必要在建立超深井钻柱动力学模型的基础上，分析全井钻柱的复杂动态应力特征，进而研究非对称交变应力状态下全井钻柱的疲劳失效特征。为此，笔者采用有限元法，研究了实际井眼约束下超深井全井钻柱的动力学特征，分析了复杂载荷作用下全井钻柱的动态应力；在此基础上，基于非对称循环应力作用下钻柱的疲劳安全系数，研究了影响钻柱疲劳强度的关键因素，探索了超深井钻柱结构及钻井参数的优化方法。

1.   超深井钻柱动力学模型建立

1.1   超深井井眼轨迹特征

超深井井眼轨迹是一条具有空间挠曲特征的变截面圆筒。钻井过程中，通过随钻测量仪器得到实际井眼轨迹的井深、井斜角和方位角数据，根据曲率半径法^[16]进行插值，可以得到实际井眼轨迹轴线各个位置的三维坐标，结合井身结构，即可构建超深井钻柱所在的空间位移约束条件。曲率半径法假设全井段的井眼轨迹是一条等变螺旋角的圆柱螺线，该螺线在端点处分别与上、下两测点的井眼方向相切，因此，井眼轨迹在垂直剖面图和水平投影图上都是圆弧（见图1），则三维井眼轨迹的坐标增量为：

图  1  曲率半径法计算原理示意

Figure  1.  Calculation principle of curvature radius method

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式中：$\Delta X$，$\Delta Y$，$\Delta Z$和$\Delta S$分别为水平投影图和垂直剖面图的坐标增量，m；${\alpha }_{1}$，${\varphi }_{1}$，${\alpha }_{2}$和${\varphi }_{2}$分别为水平投影图和垂直剖面图相邻2个测点的井斜角和方位角，rad；$\mathrm{\Delta }L$为测段长度，m。

1.2   钻柱动力学有限元模型

关于钻柱动力学特性的研究很多，井眼中受迫旋转运动的钻柱是一强非线性动力系统，其与实际弯曲井筒中发生随机碰撞，加之接触非线性（接触位置和状态不确定）和几何非线性（大变形）的存在使钻柱的非线性刚度随着钻柱单元的位移和转角而改变，造成钻柱动力学的研究难度很大，极具挑战性。在已有研究基础上，采用显式算法，利用中心差分法，以时间增量积分方式实现超深井钻柱动力学模型的求解，即通过预先设置的时间增量来递推下一时刻的结果，适用于不连续、强非线性动力系统，并有较高的效率和精度。

显式求解算法是用中心差分法^[17]对钻柱动力学方程进行时间积分，由上一个增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。钻柱动力学有限元控制方程可以表示为^[18]：

式中：$\boldsymbol{M}$ 为钻柱系统的质量矩阵，kg；$\boldsymbol{C}$为阻尼矩阵，kg/s；$\boldsymbol{K}$为刚度矩阵，N/m；$\boldsymbol{f}_t$为外力矩阵，N；$\ddot{\boldsymbol{u}}_t$为钻柱系统节点的加速度向量，m/s²；$\dot{\boldsymbol{u}}_t$为速度向量，m/s；$\boldsymbol{u}_t$为位移向量，m。

基于中心差分法，钻柱在t时刻的加速度和速度可以表示为：

式中：$\Delta t$为时间步长，s；${\boldsymbol{u}}_{t}$，${\boldsymbol{u}}_{t-\Delta t}$和${\boldsymbol{u}}_{t+\Delta t}$分别为钻柱各节点当前时刻位移、上一时间步长位移和下一时间步长位移，m。

将式（7）、式（8）代入式（6），可求解各个离散时间点解的递推公式：

利用式（9），可求解各个离散时间点的位移。中心差分法是条件稳定算法，求解具体问题时，时间步长$\mathrm{\Delta }t$必须小于由该问题求解方程性质所决定的某个临界值$\mathrm{\Delta }{t}_{{\mathrm{cr}}}$。中心差分算法解的稳定条件是：

式中：${T}_{{\mathrm{n}}}$为有限元系统最小固有振动周期，s。

实际工程中，$\mathrm{\Delta }{t}_{{\mathrm{cr}}}$的估算公式为：

式中：${l}_{\min}$为钻柱最小单元长度，m；$E$为钻柱弹性模量，Pa；$\rho$为钻柱密度，kg/m³；$\nu$为钻柱泊松比。

1.3   碰撞接触与边界条件

钻进过程中，钻柱与井筒会在任意位置产生随机碰撞，因此，钻柱与井壁的接触可以采用随机通用接触模型。该模型能够高效判断接触，并允许单个接触位置中包含多个接触区域。钻柱与井筒碰撞时不允许接触对之间产生穿透行为，所以采用硬接触，其中法向接触属性用于定义接触界面间的法向作用力大小，切向接触属性用于定义接触界面间的摩擦行为：

式中：$\tau$为剪切力，N；$\mu$为摩擦系数；$p$为接触力，N。

对于实际钻井系统，坐标系原点位于井口，z轴沿井眼轴线切线方向指向钻头，x指向井眼高边方向，y轴与x、z轴垂直并符合右手螺旋法则。钻柱顶端被井口转盘或顶驱限制了x、y方向的位移，同时限制了井口钻柱的弯曲（见图2）：

图  2  大地坐标系与井眼轴线坐标系

Figure  2.  Geodetic and wellbore axis coordinate systems

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式中：${u}_{x}{\left.\right|}_{z=0}$和${u}_{y}{\left.\right|}_{z=0}$分别为井口处x和y方向的位移，m； ${\theta }_{x}{\left.\right|}_{z=0}$和${\theta }_{y}{\left.\right|}_{z=0}$分别为井口处绕x和y轴的角位移，rad。

钻头端由于钻头较大且与井眼尺寸接近，因此约束其横向位移。钻进过程中，钻柱在顶驱或地面转盘作用下旋转，钻柱顶端施加恒定转速；钻头受到钻压和地层的阻力扭矩：

式中：${\dot{\theta }}_{z}\left(t\right)$为钻柱旋转角速度，rad/s；${f}_{z}\left(t\right)$为钻柱所受轴向力，kN；${M}_{z}\left(t\right)$为地层的阻力扭矩，kN·m；L为全井钻柱长度，m；${\varOmega }$为给定的井口钻柱旋转角速度，rad/s；${W}_{0}$和${W}_{{\mathrm{a}}}$分别为平均钻压和波动钻压，kN；${r}_{{\mathrm{b}}}$为钻头半径，m；${\mu }_{{\mathrm{a}}}$为动摩擦系数；${n}_{{\mathrm{b}}}$为钻头激励因子；${\omega }_{{\mathrm{b}}}$为给定的钻头旋转角速度，rad/s。

2.   钻柱的疲劳强度模型

基于疲劳损伤累积理论^[19]，疲劳损伤是交变载荷下的线性累积过程，当累积损伤达到临界值时，钻柱就会发生疲劳失效。即：

式中：n_i为应力循环次数；${N}_{i}$为在应力作用下材料达到疲劳破坏的循环次数。

非对称循环应力的等效特征可表示为^[20]：

式中：${\left({\sigma }_{{\mathrm{a}}}\right)}_{{\mathrm{d}}}$表示非对称循环应力等效特征，MPa；${\sigma }_{{\mathrm{a}}}$为应力幅，MPa；${\sigma }_{{\mathrm{m}}}$为平均应力，MPa；$\psi$为非对称循环度系数。

考虑应力集中系数${K}_{\text{σ} }$、尺寸系数$\varepsilon$及表面加工系数$\beta$，式（16）可修正为：

令${\left[{\left(\dfrac{{K}_{\text{σ} }}{\varepsilon \beta }{\sigma }_{{\mathrm{a}}}\right)}_{{\mathrm{d}}}\right]}_{i}={\sigma }_{{\mathrm{d}}i}$，在式（15）分子分母上同乘以${{\sigma }_{{\mathrm{d}}i}}^{m}$，得：

式中，${{\sigma }_{{\mathrm{d}}i}}^{m}{N}_{i}$为常数。

若用无限寿命的疲劳极限${\sigma }_{-1}$与对应的无限寿命的最小循环数${N}_{0}$代替，可以得到非对称循环应力下钻柱的强度条件为：

则非对称循环变幅弯曲应力下的安全系数为：

同理，非对称循环变幅扭转应力下的安全系数为：

因此，考虑复杂非对称循环弯扭应力时，钻柱的安全系数为^[21]：

3.   实例分析

XX1井是我国西北某油田一口超深井，完钻井深为8 013.35 m，最大井斜角为$\text{7.061}\text{°}$。深部地层以砂岩为主，采用三开井身结构，ϕ431.8 mm井眼钻深5 504 m；ϕ311.1 mm井眼钻深7 002 m；ϕ215.9 mm井眼完钻，实际井眼轴线特征如图3所示。计算分析该井全井钻柱的动态疲劳失效特征，并探讨关键参数对疲劳强度的影响规律，以确定安全合理的钻井参数和钻具组合。

图  3  XX1井实际井眼轨迹示意

Figure  3.  Actual wellbore trajectory of Well XX1

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该井三开井眼直径为215.9 mm，所用钻具组合为ϕ215.9 mm PDC钻头+ϕ158.8 mm钻铤×18.00 m+ϕ215.0 mm稳定器×1.58 m+ϕ158.8 mm钻铤×9.00 m+ϕ215.0 mm稳定器×1.58 m+ϕ158.8 mm钻铤×108.00 m+ϕ101.6 mm钻杆×3 485.00 m+ϕ127.0 mm钻杆×2 322.00 m+ϕ139.7 mm钻杆×2 268.00 m。钻柱的弹性模量为210 GPa，泊松比为0.30，密度为7850 kg/m³；钻井液的密度为1350 kg/m³。钻柱进行网格划分时，为了提高计算效率，BHA使用精细网格，上部钻杆处使用较为稀疏的网格。钻柱的单元数为8 007个，单元类型为一阶三维梁单元；井筒的单元数为130 866个，单元类型为四阶三维离散刚体壳单元。

3.1   钻柱动力学特性分析

全井钻柱在不同时刻的弯曲应力分布如图4（a）所示（图中不同颜色曲线代表不同时刻的弯曲应力），可以看出，5 121～5 130 m，6 597～6 606 m和7 322～7 335 m井段及BHA处弯曲应力较大，其中最大值出现在井深7 917 m处，弯曲应力可达107.3 MPa，其他井段的弯曲应力较小。这是由于5 121～5 130 m，6 597～6 606 m和7 322～7 335 m井段不仅井斜角较大，而且井斜角和方位角还存在较大的变化率，井眼轨道的挠曲导致钻柱产生弯曲，钻柱与该段井壁发生碰撞的可能性增大，最终使得该处弯曲应力水平较高。而BHA处钻柱的受力情况复杂，并与井壁频繁碰撞，造成BHA处整体弯曲应力较大。

图  4  XX1井全井钻柱各位置在不同时刻的应力分布

Figure  4.  Stress distribution of drill string in Well XX1 at different time

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全井钻柱在不同时刻的扭转应力分布如图4（b）所示（图中不同颜色曲线代表不同时刻的扭转应力），可以看出，上部钻柱的扭转应力较大，这是因为钻柱顶端具有恒定的转速，顶部输入扭矩要克服钻柱的摩阻扭矩。同时，由于下部稳定器直径较大，其与井壁接触产生的摩阻扭矩较大，致使扭转应力在稳定器位置出现跳跃。

影响钻柱动态疲劳安全的主要因素是非对称循环变应力。选择上部钻柱（位置B，距钻头7 013.35 m）、上稳定器母接头（位置C，距钻头30.35 m）和下稳定器公接头（位置D，距钻头18.25 m）作为参考点进行分析，3个参考点的非对称循环弯曲应力与扭转应力随时间的变化如图5和图6所示。从图5和图6可以看出：位置C的非对称弯曲应力最大（91.32 MPa），平均16.00 MPa；其次为位置D，最大83.37 MPa，平均14.72 MPa，说明稳定器附近的弯曲应力较大。位置B的非对称循环扭转应力最大，达67.78 MPa，平均47.28 MPa，说明上部钻杆处的扭转应力较大。

图  5  钻柱不同位置处非对称循环弯曲应力随时间的变化

Figure  5.  Variation of asymmetrical cyclic bending stress at different positions of the drill string with time

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图  6  钻柱不同位置处非对称循环扭转应力随时间的变化

Figure  6.  Variation of asymmetrical cyclic torsional stress at different positions of the drill string with time

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3.2   钻柱疲劳失效特征

基于全井钻柱动态应力分析，可以计算其动态疲劳安全系数。全井钻柱在不同井深处的疲劳安全系数如图7所示，可以看出最安全的位置在井深940 m处，疲劳安全系数为4.104；7 820 ～8 013.35 m井段钻柱的疲劳安全系数小于1.20，为钻进时的最危险位置。

图  7  全井钻柱的动态疲劳安全系数

Figure  7.  Dynamic fatigue safety factor for the drill string

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从图7还可以看出：井口的疲劳安全系数略小，主要是由于此处的动态扭转应力变化较大，导致疲劳安全系数减小；井深1 000 m以深，钻柱的动态疲劳安全系数逐渐降低，这与钻柱下部所受动态载荷复杂、弯曲应力较大所体现的规律相一致。

不同钻压下全井钻柱各个位置的疲劳安全系数如图8所示。从图8可以看出，BHA处钻柱的疲劳安全系数随着钻压增大而减小，而BHA以上钻柱的疲劳安全系数受钻压的影响不明显。这是因为钻压增大，下部受压BHA的弯曲应力也增大，造成钻柱的疲劳安全系数降低；而上部钻柱处于拉伸状态，钻压对其影响较小。钻压为30～90 kN时，全井钻柱的疲劳安全系数均大于1.20，疲劳强度较大，钻柱处于相对安全的状态；钻压达到120 kN时，BHA的疲劳安全系数小于1.20，疲劳强度明显降低。

图  8  不同钻压下全井钻柱的疲劳安全系数

Figure  8.  Fatigue safety factors for drill string under different WOBs

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不同转速下全井钻柱各个位置的疲劳安全系数如图9所示。从图9可以看出：全井钻柱的动态疲劳系数受高转速影响显著；转速不低于120 r/min条件下，钻柱疲劳安全系数明显减小；转速较低时（转速30～90 r/min），转速对疲劳强度的影响较小。这是因为钻柱的惯性力与转速平方成正比，高转速时，惯性力迅速增大，极易加剧钻柱与井壁间的碰撞而导致钻柱的动态应力激增，使钻柱的疲劳强度显著降低；转速较低时，惯性力相对较小，阻尼力能快速抑制钻柱的振动，钻柱的疲劳强度变化不明显；转速大于90 r/min时，BHA处的疲劳安全系数小于1.20。因此，该井实际钻井作业时，转速应控制在90 r/min以下。

图  9  不同转速下全井钻柱的疲劳安全系数

Figure  9.  Fatigue safety factor for the drill string at different rotation speeds

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稳定器安装在不同位置处的全井钻柱疲劳安全系数如图10所示。从图10可以看出，与不安装稳定器相比，安装稳定器时钻柱的疲劳安全系数明显较大。其中，稳定器安装在距离钻头18 m时，钻柱的疲劳安全系数最大。

图  10  稳定器安装在不同位置处全井钻柱的疲劳安全系数

Figure  10.  Fatigue safety factor of the drill string under different stabilizer installation positions

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4.   结论与建议

1）超深井钻柱井下受力情况复杂，钻井过程中易与具有空间挠曲特征的井壁发生碰撞，诱发复杂振动，由此造成的复杂弯扭动态应力变化使钻柱疲劳失效的可能性显著增大。

2）考虑井眼轨迹特征，基于超深井钻柱非线性动力学模型，得出较为准确的超深井钻柱动态应力，从而进行全井钻柱疲劳强度分析，在此基础上分析了关键参数影响规律。结果表明，钻压对BHA疲劳强度的影响显著，随着钻压增大，BHA的疲劳强度降低；在高转速范围内转速对钻柱疲劳强度的影响较大，钻柱的疲劳强度随着转速增大而降低，而在低转速范围内转速对钻柱疲劳强度的影响较小；安装稳定器可以大幅度降低BHA疲劳失效的概率，而且稳定器安放位置对钻柱疲劳强度的影响显著。

3）本文从安全系数角度考虑钻柱的安全性，未考虑初始裂纹及裂纹扩展对钻柱疲劳寿命的影响，建议探索超深井复杂碰撞应力对钻柱裂纹的作用机理，进一步完善对超深井钻柱疲劳失效问题的研究，在此基础上提出参数优化方法，保障超深井钻柱安全性。