页岩地层中层理、裂缝等弱结构面十分发育，形成的复杂裂缝网络会直接影响地层的渗流能力，因此准确描述页岩地层中的裂缝网络对页岩油气开发至关重要^[1-2]。有效沟通裂缝网络可以增大压裂改造体积，正确认识和描述裂缝网络连通性对合理有效地开发裂缝性页岩气藏十分重要^[3-4]。施泽进等人^[5]采用重正化群的方法研究二维裂隙网络的连通情况，提出了六边形网络模式，运用裂隙导通概率对裂缝网格系统的连通情况进行了量化分析；S.I.Ozkaya等人^[6]通过井底周围裂缝的渗透率变化对井底裂缝尺寸、裂缝交叉面和裂缝长度等参数进行了描述；王香增等人^[7]应用分形方法对裂缝系统中各参数之间的关系进行了定量分析；K.Ghosh等人^[8]从地质的角度对裂缝连通性进行了分析，认为裂缝连通性与裂缝组数量及裂缝分散度相关；鞠玮等人^[9]应用分形方法统计了塔中Ⅰ号断裂带北段构造裂缝面密度；J.G.Rubino等人^[10]应用微地震测试方法，根据不同裂缝形态采集到的地震能量不同这一特点，通过微地震能量变化描述裂缝的连通性；郭天魁等人^[11]应用分形方法对人工压裂的裂隙结构面迹线长分布及其影响因素进行了定量研究。虽然国内外学者应用线密度、面密度、分形理论和微地震监测等方法对裂缝特征、裂缝发育规律及裂缝复杂程度进行了较多研究^[12-13]，但对页岩复杂裂缝网络连通性的研究较为欠缺，仍需进一步探索。为此，笔者针对页岩裂缝的几何特征及裂缝网络的连通性问题，应用分形及拓扑方法，对页岩地层多组天然裂缝网络的连接类型及连通性进行了模拟分析，研究了复杂页岩裂缝网络连通性的影响因素，以期为分析页岩地层裂缝网络对油气勘探开发的影响提供理论基础。

1 页岩裂缝网络的特征及表征方法

页岩地层中存在数量众多不同尺度的天然裂缝，如图 1所示。从页岩露头的裂缝发育程度来看，当裂缝数量和组数达到一定程度后，页岩裂缝就具有复杂的网络特征。页岩裂缝网络的存在给页岩的基本参数表征和物性参数表征带来了很多困难。人们通常用裂缝长度、裂缝开度、间距、裂缝倾角、裂缝密度和组数等参数来表征页岩裂缝系统。

页岩的裂缝网络是复杂、无序的，其拓扑结构亦变化多样，不同的拓扑结构会使页岩裂缝网络的连通性、渗透率等产生较大差异，进而影响页岩油气井的生产参数。因此，要想充分表征页岩的裂缝网络，既要考虑裂缝的几何参量，还要考虑裂缝的拓扑结构。

有时2个裂缝网络的几何参量完全相同，但它们却构成了2个形态差异明显的裂缝系统，分析认为，这主要是因为裂缝网络的拓扑结构不同。所谓的裂缝网络拓扑结构，是指裂缝系统间的连接状态。如图 2所示，裂缝网络1与裂缝网络2均分布2组正交的裂缝，具有完全相同的裂缝数量、尺寸、倾角等几何参量。在考虑裂缝连接状态的情况下，裂缝网络1中裂缝的连接程度明显高于裂缝网络2，裂缝网络1的连通性能也必然优于裂缝网络2。这说明，常用的几何参数并不能准确表征裂缝网络的系统性能。

2 页岩裂缝组的分形表征模型

大量研究表明^[14-16]，地层断裂与裂缝的分布具有相似性。因此，大尺寸的地层断裂和小尺寸的岩心裂缝均可以用分维数值来定量描述储层中裂缝网络的空间发育程度。

根据分形几何理论，在D_T(D_T≤3)维的欧式空间中存在一组分形裂缝介质，则分形裂缝介质的测量尺度和累计数目、累计长度存在幂律关系：

(1)

(2)

式中：N为分形裂缝介质的累计数目；N₀为分形裂缝介质的初始个数；r为分形裂缝介质的测量尺度；L为分形裂缝介质的累计长度；L₀为分形裂缝介质的初始尺度；D为分形裂缝介质分布的分形维数，D < D_T。

在三维欧式空间中(D_T=3)，有若干个边长为L_T(L_Tmin≤L_T≤L_Tmax)的离散单元，其中一个离散单元中存在m组分形裂缝介质。对于第i组分形裂缝，有：

(3)

(4)

式中：N_i为第i组分形裂缝累计数目；N_0i为第i组分形裂缝的初始个数；L_i为第i组分形裂缝累计长度；L_0i为第i组分形裂缝初始尺度；D_i为第i组分形裂缝分布的分形维数。

3 页岩裂缝网络的拓扑表征模型

在二维裂缝网络中，裂缝由一系列线段组成。平面中的每一条裂缝都有各自的迹线和2个终端节点。如图 3所示的裂缝拓扑结构中：A-B表示裂缝迹线，点A和点B是裂缝的2个孤立的终端节点，称为Ⅰ型节点；裂缝A-B与裂缝C-M、F-N相互交叉，交点C和F称为X型节点；裂缝D-N、E-M终止于裂缝A-B，即相邻连接，交点D和E称为Y型节点。裂缝A-B被其他4条裂缝分成了5段，分别为AC段、CD段、DE段、EF段和FB段，这些裂缝段称为裂缝的分支。

在二维裂缝网络中，每条裂缝必然存在2个终端节点。这2个终端节点可以是Ⅰ型节点，也可以是Y型节点。由此可知，裂缝网络中的裂缝数为：

(5)

式中：N_L为裂缝数(迹线数)；N_I为Ⅰ型节点的个数；N_Y为Y型节点的个数。

连接的裂缝在节点之间形成一系列新的分支。每条分支只有2个节点。在不考虑节点类型重合的放射性裂缝连接时，每个Ⅰ型节点只属于1条分支，每个Y型节点同属于3条分支，每个X型节点同属于4个分支。由此，可以得到分支数：

(6)

式中：N_B为分支数；N_X为X型节点的个数。

在上述3类节点中，X和Y连通裂缝网络的连接点，且每个X型节点和Y型节点均同属于2条裂缝。这样，裂缝网络平均连接点的计算式为：

(7)

在一个裂缝网络中，每条裂缝的平均连接点数是非常重要的参数，直接反映裂缝网络的连接程度。在一个裂缝网络中，Ⅰ型节点占据主导地位时，C_L→0；Y型节点主导时，C_L→4；X型节点主导时，C_L→∞。

X型和Y型节点作为分支的连接点，每个Y型节点同属于3个分支，每个X型节点同属于4个分支，由此可知分支的平均连接点数C_B的关系式为：

(8)

结合式(6)、式(8)，得：

(9)

C_B相较于C_L来说，其使用价值更高，二者都能够很好地反映裂缝网络的连接程度，但C_B分布更为集中、稳定，实际应用中可操作性更强。当裂缝网络由Ⅰ型节点主导时，C_B→0；由X型或Y型节点主导时，均有C_B→2。

4 页岩裂缝网络的二维模拟分析

为了分析页岩裂缝网络的系统特征，应用Matlab软件编译脚本文件，分析裂缝网络的分形维数、组数及倾角对裂缝网络节点、连通性的影响。在二维平面，单一裂缝受位置、长度、宽度和角度等参数影响，裂缝组受组数、初始数量、初始长度、分形维数等参数影响。其中，位置由随机函数确定，长度及数量由分形函数确定(即式(3)、式(4))，具体模拟参数见表 1。

利用表 1中的数据绘制裂缝网络二维分布图，见图 4。

由图 4可知：单组裂缝时，裂缝尺寸越小，裂缝数量越多；裂缝组走向单一，连通性差，各向异性强；多组裂缝时，裂缝网络连通性变好，独立裂缝少，裂缝网络的各向异性弱；随着裂缝组数的增多，裂缝网络分布越来越复杂。多组裂缝构成的裂缝网络系统与地层中天然裂缝网络十分相似。

为进一步分析裂缝网络的节点特征，在图 4(b)、图 4(c)中绘制了Ⅰ型、Y型和X型节点，结果分别见图 5、图 6。

由图 5、图 6可知：位置随机的裂缝网络的节点主要为Ⅰ型、X型节点，并无Y型节点，即裂缝网络的连通性主要受X型节点的控制；随着不平行裂缝组数的增加，裂缝网络X型节点数量明显增多；在2组或者3组裂缝中，都存在个别的独立裂缝，即该裂缝没有X型节点，这些独立裂缝必须通过岩石的基质孔隙才能与整个裂缝网络连通；裂缝网络的存在可有效地消除地层渗透率的各向异性。

5 页岩裂缝网络连通性影响因素分析

为系统了解页岩裂缝网络的连通性特征，进行了22组算例的数值模拟。为了保证每个算例中裂缝节点数据计算结果都稳定，每个算例重复模拟50次。对不同计算结果进行统计、取平均值，最终形成图表中的一个点。算例计算参数见表 2。

根据计算结果，绘制2组与3组裂缝节点与分形维数的关系图，见图 7。

由图 7可知：位置随机的裂缝组的节点主要为Ⅰ型、X型节点，即裂缝网络的连通性主要受X型节点的控制；Ⅰ型节点数随着分形维数的增大而增多，受裂缝个数的控制；X型节点数随着分形维数的增大呈上下波动状态，这说明在最大尺寸、初始裂缝个数和裂缝角度给定的情况下，裂缝组的连通性对分形维数不敏感，即整个裂缝网络连通性随分形维数变化比较稳定；随着裂缝组数的增加，裂缝X型节点的数量大幅度增加，即不平行的裂缝组数显著提高了裂缝网络的系统连通性。

分形维数对裂缝和分支的平均连通性指数(连通性指数大，则连通性好；反之，则连通性不好)的影响分别如图 8、图 9所示。

由图 8、图 9可知：随着分形维数增大，2组裂缝、3组裂缝的裂缝平均连通性指数均逐渐降低，这说明在最大尺寸、初始裂缝个数和裂缝角度给定的情况下，分形维数对裂缝网络中裂缝和分支的平均连通性起负面影响；裂缝网络的裂缝和分支平均连通性受组数影响明显，且随不平行的裂缝组数的增加而升高。

通过旋转改变2组裂缝的交角(如图 10所示)，研究了裂缝组交角对平均连通性的影响，结果见图 11。

从图 10可以看出，第1组裂缝与水平方向的交角为45°，第2组裂缝从水平方向起逆时针从0°向90°旋转。

由图 11可知：裂缝平均连通性指数和分支平均连通性指数随着裂缝组交角的减小逐渐减小，随着交角的增大而增大；在2组裂缝的交角为0°(第2组裂缝逆时针旋转45°)时，2组裂缝平行，整个裂缝网络的连通性指数为0。这说明，在裂缝尺寸分布、初始裂缝个数和分形维数一定的情况下，裂缝组的连通性对裂缝组的交角十分敏感。在裂缝组正交时，裂缝网络的裂缝和分支的平均连通性指数均达到最大值，在2组裂缝平行时，裂缝组的裂缝和分支的平均连通性指数均达到最小值0。

通过旋转改变3组裂缝的夹角(如图 12所示)，研究了裂缝组交角对平均连通性的影响，结果见图 13。

从图 12可以看出，第1组裂缝与水平方向的交角为0°，第2组裂缝与水平方向的交角为45°，第3组裂缝从水平方向起逆时针从0°向90°旋转。

由图 13可知：在由3组裂缝构成的裂缝网络中，裂缝和分支的平均连通性指数均受裂缝组交角的变化影响；当第3组裂缝从水平位置旋转到第1组和第2组裂缝中间时，整个裂缝网络的连通性指数达到阶段最大值；继续旋转第3组裂缝，在远离第1组裂缝又趋近平行第2组裂缝过程中，整个裂缝网络的连通性指数呈减小趋势；当第3组裂缝旋转到与水平方向成45°时，整个裂缝网络的连通性指数达到最小值；继续旋转第3组裂缝，使其与第1组和第2组裂缝的交角都增大过程中，裂缝网络的连通性指数呈增大趋势；当第3组裂缝与第1组或第2组裂缝垂直时，裂缝网络的裂缝和分支的平均连通性指数均增大到某一最大值。

6 结论

1) 建立了页岩裂缝组分布的分形表征模型和裂缝网络的拓扑表征模型，对页岩裂缝网络及连通性进行了分形分析。给出了不同参数下页岩裂缝网络分布的二维迹线图及节点图。研究结果表明，天然裂缝分布数量和发育程度受分形维数、组数和初始个数控制，随分形维数的增大而增大。

2) 页岩裂缝网络中，在裂缝尺寸分布、初始裂缝个数、裂缝组数和裂缝组交角一定的情况下，裂缝网络Ⅰ型节点随分形维数增大而增大。裂缝平均连通性和分支平均连通性随分形维数的增大呈现降低趋势。

3) 页岩裂缝网络中，在裂缝尺寸分布、初始裂缝个数和分形维数一定的情况下，裂缝平均连通性和分支平均连通性对裂缝组数、裂缝组交角等参数敏感，随裂缝组数的增加而升高，随裂缝组交角的增大而升高。