蒸汽吞吐是目前开采稠油最常用的技术之一^[1-3], 蒸汽注入地层后可降低原油黏度，提高原油流动性，同时可起到近井地带解堵的作用，改善储层渗透性^[4-6]。

为确定蒸汽吞吐井产量与油层性质、注汽状况等的定量关系，前人对蒸汽吞吐井加热半径和产能预测模型进行了研究^[7-10]。J.W.Marx等人^[11]最早提出了考虑顶底盖层散热情况的蒸汽吞吐加热半径计算模型；B.T.Willman等人^[12]在Marx预测模型的基础上，将注入蒸汽对油层的加热面积修正为以注入井为中心的圆形；G.Mandl等人^[13]提出了临界时间概念，认为在临界时间前后传热方式由热传导变为热对流。我国也有许多学者对蒸汽吞吐产能模型进行了研究^[14-17]，但这些模型均假设注入储层中的蒸汽活塞式驱替原油，预测精度不高。实际上，由于原油和蒸汽密度不同产生重力分异作用，蒸汽易于向油层顶部运移，出现蒸汽超覆现象。蒸汽超覆程度与蒸汽注入量、油层厚度、原油和储层物性相关。同时，蒸汽超覆程度直接影响油层与顶底盖层之间导热造成的热损失情况, 蒸汽超覆越严重，热损失越大^[18]。为此，针对注入油层蒸汽非活塞式驱替的实际情况，引入等效半径这一概念，建立了考虑蒸汽超覆现象的蒸汽吞吐产能预测模型，并进行了实例验证。

1 顶底盖层加热半径计算公式 1.1 基本假设

1) 油藏储层均质，储层物性不随温度发生变化；2)注入油层蒸汽的温度和速率恒定；3)忽略因温差在水平方向产生的热传导；4)油层顶底盖层导热系数相同，且油层内部在垂向上无温差；5)蒸汽超覆情况下，蒸汽区和热水区温度相同，且等于注入蒸汽的温度；6)油层顶底加热面积和加热区体积，以注汽井为中心分别呈圆形和圆台状。

1.2 计算公式推导

由于蒸汽超覆现象，注入油层的蒸汽易于向油层顶部聚集，导致油层顶部的加热面积大于底部加热面积。随着注入蒸汽对原油不断驱替，注汽前缘趋于稳定(见图 1)。J.van Lookeren^[19]基于分流原理对水平地层径向流的蒸汽区域变化进行了研究，根据汽液界面上各点蒸汽和原油关于半径的势梯度关系，同时引入拟流度比，得到了蒸汽驱替前缘公式：

(1)

(2)

(3)

式中：h_s为蒸汽区高度，m；h为油层厚度，m；r为加热半径，m；r_b为底盖层加热区半径，m；r_t为顶盖层加热区半径，m；M^*为拟流度比；ω_o为原油径向质量流速，kg/s；ω_s为蒸汽径向质量流速，kg/s；ω_o(r_t)为原油在r_t处的质量流速，kg/s；ω_s(r_b)为蒸汽在r_b处的质量流速，kg/s；ω_si为蒸汽注入速度，kg/s；μ_o^*为加热区原油黏度，mPa·s；μ_s为蒸汽黏度，mPa·s；K_s为蒸汽有效渗透率，mD；K_o为原油有效渗透率，mD；ρ_s为蒸汽密度，kg/m³；ρ_o为原油密度，kg/m³。

拟流度比M^*＜1时，蒸汽超覆情况下原油和蒸汽的界面与水平油层的夹角取决于蒸汽流动速度、蒸汽密度、油层渗透率等参数。

拟流度比M^*≥1时，不再是前缘驱替，在径向上出现蒸汽舌进。

拟流度比M^*=0时，假设注入蒸汽在径向上的流动速率与半径平方差成正比，则蒸汽区高度与半径的关系为：

(4)

(5)

对式(4)进行积分，可得：

(6)

由式(6)可得蒸汽径向驱替原油时蒸汽区高度与加热地层半径的无量纲关系，如图 2所示。图 2中纵坐标表示无量纲的蒸汽驱高度，横坐标表示无量纲的加热半径，油层中蒸汽区高度随加热半径增加而减小，蒸汽区体积取决于顶盖层加热半径r_t，其随注汽时间增长而增大。

注入油层蒸汽的热损失方式主要为热传导，在油藏顶底盖层处造成热量的逸散，热量的损失速率与顶底盖层加热面积有直接关系。由蒸汽前缘方程^[19]可知，顶底盖层加热面积与注入蒸汽量和形状因子相关。

当r=r_b时，h_s=h；并令，则式(6)简化为：

(7)

因此

(8)

顶底加热区面积的关系为：

(9)

式中：A_t为顶层加热面积，m²；A_b为底层加热面积，m²。

由于加热区存在蒸汽超覆现象，导致油层顶底盖层加热面积不同，因此根据能量守衡原理，利用Marx-Langenheim方法^[11]对加热面积进行重新推导。

油层加热区顶底盖层总热损失速率为：

(10)

式中：Q_s为顶底盖层加热区总热损失速率，J/s；Q_t，Q_b分别为顶、底盖层加热区热损失速率，J/s；λ_s为顶底盖层岩石导热系数，J/(s·m·℃)；α_s为顶底盖层热扩散系数，m²/s；Δθ为加热区与原始地层温度差，℃；t为注入蒸汽时间，s。

加热区油层热能的增加速率为：

(11)

式中：M_R为油层单位体积热容，J/(m³·℃)；Q_a为加热区热能增加速率，J/s。

根据瞬时热平衡原理，顶底盖层热损失速率与油层热能增加速率之和等于油层热能注入速率，即：

(12)

式中：Q_i为油层热能注入速率，J/s。

利用褶积原理对式(12)进行Laplace变换可得：

(13)

式中：s为Laplace变换量；L(A_b)为Laplace变换函数。

令

(14)

(15)

对式(15)进行Laplace逆变换，可得：

(16)

定义无量纲时间

(17)

将式(17)代入式(16)，可得：

(18)

因此可得顶底盖层加热半径为：

(19)

(20)

当β=1时，与Marx-Langenheim方法得到的加热半径相同，说明考虑蒸汽超覆的加热半径模型具有普适性。

2 产能计算模型 2.1 产能公式

蒸汽吞吐过程中，将油层划分为加热区和非加热区两部分，根据圆形复合油藏封闭地层中心有一口生产井的拟稳态产量公式^[20]可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

式中：r_s为加热区半径，m；r_e为泄油半径，m；Q_o为产油速率，m³/d；Q_w为产水速率，m³/d；p_wf为井底流压，MPa；K为油层绝对渗透率，D；S为表皮系数；K_ros，K_rws为加热区油水相对渗透率；K_roc，K_rwc为非加热区油水相对渗透率。

考虑蒸汽超覆现象的蒸汽吞吐模型顶底盖层加热半径不同，导致加热区体积以注入井为中心呈圆台状。为适用拟稳态产量公式，引入等效加热半径，将加热区体积等效为圆柱体，以利于油藏产量计算。

(27)

式中：r_se为等效加热半径，m。

2.2 相关参数确定 2.2.1 地层平均温度

1) 焖井阶段。注入油层蒸汽的热能一部分沿径向传播对原油进行加热降黏，一部分通过顶底盖层逸散，造成热损失。随焖井时间增长，热损失增大，地层温度降低，焖井结束时加热区地层平均温度为^[20]：

(28)

式中：θ_s为焖井结束时加热区地层平均温度，℃；θ_i为原始地层温度，℃；θ_s为注入蒸汽温度，℃；V_rs，V_zs分别为径向和垂向上热损失导致加热区温度下降的影响因子。

2) 生产阶段。除了沿径向驱替热对流过程和顶底盖层热传导过程中的热损失，产出液携带的热能使加热区温度进一步降低。综合考虑以上3种因素，生产阶段加热区地层平均温度θ_as为^[20]：

(29)

式中：θ_as为生产阶段加热区地层平均温度，℃；δ_s为产出液携带热量导致加热区温度下降的修正系数。

2.2.2 平均地层压力

1) 焖井阶段。油层注入蒸汽后会造成地层压力升高，利用体积平衡原理^[20]，焖井结束时的平均地层压力p₁为：

(30)

式中：p₁为焖井结束时的平均地层压力，MPa；p_i为原始地层压力，MPa；G为累计蒸汽注入量，m³；B_o，B_w为油藏条件下油、水体积系数；N为总地质储量，m³；N_os为加热区原始地质储量，m³；β_e为综合热膨胀系数，℃^-1；C_e为综合压缩系数，MPa^-1。

2) 生产阶段。随着油水产出，地层压力下降，采用体积平衡原理^[20]，生产阶段平均地层压力p₂为：

(31)

式中：p₂生产阶段平均地层压力，MPa；N_o和N_w分别为累计产油量和累计产水量，m³。

2.2.3 生产阶段加热区油水饱和度

建立水相质量守恒方程，即某时刻地下水质量等于原始地下水质量加上注入水质量与产出水质量之差，由此可得加热区含水饱和度为^[21]：

(32)

含油饱和度为：

(33)

式中：S_w为生产阶段含水饱和度；S_o为生产阶段含油饱和度；S_wi为初始含水饱和度；ρ_wi为油藏原始条件下地层水密度，kg/m³；ρ_w为生产阶段地层水密度，kg/m³。

2.2.4 原油黏度

根据原油黏度与温度的关系，利用Walther方程^[20]可得不同温度下对应的原油黏度：

(34)

式中：μ_o为地层温度下对应的原油黏度，mPa·s；ρ_o为地层温度下对应的原油密度，kg/m³；θ为地层温度，℃; m和c为常数。

2.2.5 相对渗透率

随着温度变化，相渗曲线的束缚水饱和度及残余油饱和度发生变化，而整体曲线形状相似，因此，只要确定不同温度下的相渗曲线端点值即可近似获得不同温度条件下的相渗曲线。通过归一法，利用不同温度下试验测得的端点值，计算地层温度下归一饱和度的相渗曲线，根据实际地层温度和含水饱和度，进行线性插值即可得到对应的油、水相对渗透率。

2.3 模型求解

求解流程建立在考虑蒸汽超覆现象的蒸汽吞吐产能预测模型基础之上，首先计算油藏和流体参数，利用式(19)、(20)确定顶、底层加热区半径，利用式(27)确定等效半径，利用式(28)、(29)确定生产阶段加热区平均温度，利用式(30)、(31)确定生产阶段平均地层压力，利用式(32)确定生产阶段加热区含水饱和度，不同温度和含水饱和度下的油水相对渗透率根据相渗曲线进行插值计算，最后采用显式方法求解式(21)和式(22)得到产油和产水速率，当周期产油量大于最小经济产量(Q_omin)时，计算下一周期产量，否则结束(见图 3)。

3 实例模拟

根据模型求解流程图，利用C++语言进行程序编译，完成考虑蒸汽超覆现象蒸汽吞吐产能预测模型计算。以孤岛油田M区块为例进行模型验证，该区块油藏和流体性质参数为：油层厚度20.00 m，原始地层压力12.8 MPa，油藏温度60 ℃，储层渗透率1 300 mD，平均孔隙度0.34，原始含油饱和度0.58，井筒半径0.10 m，泄油半径100.00 m，原油密度980 kg/m³，盖层热扩散系数0.11 m²/d，岩石压缩系数2×10^-4 MPa^-1，原油比热2 100 J/(kg·℃)，油层单位体积热容1.5×10⁶ J/(m³·℃)，水比热4 200 J/(kg·℃)，原油热膨胀系数5.35×10^-4 ℃^-1，水热膨胀系数1.50×10^-4 ℃^-1。注汽参数为：注入蒸汽速度250 t/d，注汽干度0.75，蒸汽温度300 ℃，注汽时间10 d，焖井时间5 d，生产时间90 d。不同温度下的油水相渗曲线及原油黏温曲线如图 4、图 5所示。

将本文预测模型计算得到的产油速率和周期累计产油量与商业油藏数值模拟器CMG模拟结果及Marx预测模型计算结果进行对比(见图 6、图 7)，可发现本文预测模型计算结果与CMG数值模拟结果更为接近，平均相对误差为12.0%，尤其是随着开发时间增长，本文模型与CMG预测的结果偏差非常小，最小相对误差为7.0%，验证了本文预测模型的可靠性。同时，与CMG软件相比较，本文模型不需要地质建模等过程，工作量更小，计算方便。由于Marx预测模型未考虑蒸汽超覆现象，导致该模型热损失较小，热能利用率偏高，因此预测产油速率及周期累计产油量与本文模型及CMG模型相比偏差较大，平均相对误差为41.0%。

4 结论与建议

1) 稠油油藏蒸汽吞吐过程中，由于重力分异作用导致注入的蒸汽在油层顶部聚集，产生蒸汽超覆，因而油层顶底加热面积不同。针对这一现象，通过引入等效半径的概念，建立了考虑蒸汽超覆的蒸汽吞吐产能预测模型。

2) 实例模拟验证结果表明，考虑蒸汽超覆的蒸汽吞吐产能预测模型计算结果与商业模拟软件CMG计算结果接近，比Marx模型准确度高，可用于油田实际生产中的产量预测。与CMG软件相比较，该模型无需进行地质建模等过程，计算方便，工作量小。

3) 油藏蒸汽吞吐过程中，加热区温度是由蒸汽温度逐渐降低至原始地层温度的，该区内的非等温分布特征及其对蒸汽吞吐产能的影响是下一步的研究方向。