传统的钢制抽油杆质量大，在采油作业中需要用接箍将其连接入井，造成起下作业不连续，作业周期长，且生产中存在活塞效应、表面易腐蚀等问题。为此，国外学者^[1-6]提出采用碳纤维连续抽油杆代替钢制抽油杆进行生产, 并进行了相关研究，其中J.Delmonte等人^[1]对碳纤维抽油杆进行了10⁷次疲劳性能试验研究，结果表明碳纤维复合材料的剩余强度为90%，远高于钢制抽油杆的疲劳剩余强度。20世纪80年代，美国研制的碳纤维抽油杆已经用于泵挂深度为1 524.00 m的油井^[7-8]，而我国于2001年才开始进行碳纤维连续抽油杆的应用研究^[9-15]。近年来，随着碳纤维制造技术和连续抽油杆生产工艺的完善，碳纤维连续抽油杆开始大规模使用，如某油田先后在34口井进行了现场试验，累计应用碳纤维连续抽油杆超过53 000 m，最大泵挂深度超过3 001.00 m。但该油田在现场试验中发现，用计算钢质抽油杆冲程损失的方法(以下简称“常规冲程损失计算方法”或“常规计算方法”)计算碳纤维抽油杆冲程损失，其结果存在较大误差，不能满足油田产量计算和防冲距调整的要求，甚至常因计算误差较大而出现井下撞泵现象^[16]，成为影响碳纤维连续抽油杆推广应用的一个关键问题。为此，笔者考虑碳纤维连续抽油杆的结构、振动及作业温度变化所带来的影响，建立了适用于碳纤维连续抽油杆冲程损失的计算模型，以提高计算冲程损失的准确度。

“三抽”系统通常指抽油机、抽油杆和抽油泵，该系统中的冲程损失，是导致实际产液量小于理论产液量的重要因素^[17]。在“三抽”系统中，游动阀与固定阀随着上、下冲程的变换交替开启、闭合，泵柱塞上方的液柱载荷在抽油杆柱、油管上交替转移，引起抽油杆柱和油管柱载荷的交替增减，使得上、下冲程抽油杆柱与油管柱的变形量不相等，导致抽油泵柱塞的实际行程小于抽油机的光杆冲程，该差值即为“三抽”系统的冲程损失。

“三抽”系统冲程损失的常规计算方法，是将抽油杆按照轴向划分为无数微小单元，在有液柱载荷及无液柱载荷的情况下，分别计算各微小单元变形量的总和，两者差值即“三抽”系统在作业中产生的冲程损失。

按照常规计算方法计算碳纤维连续抽油杆冲程损失的具体步骤如下：

1) 给抽油杆划分微元(如图 1所示)，沿x轴向将抽油杆划分为以dx为单元的微元模型。

图 1 碳纤维连续抽油杆微元示意 Fig.1 Schematic diagram of the micro-elements in carbon fiber sucker rod

图选项

图 1中，以抽油杆顶端作为起始量，将长度为l的抽油杆(包括碳纤维杆和钢杆)以dx为单元变形积分，可得到上、下冲程抽油杆的变形量。根据以往现场实测数据，除大泵、高含水和浅井等情况外，油管内液柱一般不会对柱塞产生明显动载荷，故不考虑动载荷影响^[9]。

2) 对微元积分来计算上、下冲程微元变形量总和。上冲程抽油杆变形量计算式为：

(1)

下冲程抽油杆变形量计算式为：

(2)

式中：λ_u，λ_d分别为上冲程和下冲程抽油杆的变形量，m；ρ_g，ρ_l和ρ_r分别为抽油杆、产出液和加重钢杆的密度，kg/m³；L_f，L_r分别为动液面高度、加重钢杆长度，m；A_g，A_p和A_r分别为抽油杆、泵筒和加重钢杆的截面积，m²；E_g为抽油杆的弹性模量，MPa；G_B为泵筒的重力，kN；G_f为液柱的摩擦载荷，kN；g为重力加速度，m/s²。

抽油杆冲程损失可表示为：

(3)

由式(1)—式(3) 可得用常规计算方法计算碳纤维连续抽油杆冲程损失的公式^[18]：

(4)

式中：L_c为碳纤维连续抽油杆的长度，m；A_c为碳纤维连续抽油杆的截面积，m²；A_t为油管的截面积，m²；E_r，E_c和E_t分别为加重钢杆、碳纤维连续抽油杆和油管的弹性模量，MPa。

结合碳纤维连续抽油杆的制作工艺及其井下作业环境，对式(4) 进行分析：从碳纤维连续抽油杆结构看，其外层为包覆层，内层为碳纤维复合材料，而包覆层的弹性模量要远小于碳纤维复合材料的弹性模量，若直接将碳纤维材料的弹性模量代入式(4) 计算，则计算结果应比实际值偏小^[19]；碳纤维复合材料及其包覆层材料的弹性模量均随温度的变化而显著变化，其弹性模量若取为定值，计算结果将不准确；而且，与钢制抽油杆相比，碳纤维连续抽油杆的质量要小得多，使得振动对其影响较为显著，而式(4) 中并未考虑振动对冲程损失的影响，导致计算结果偏小。因此，需要考虑碳纤维连续抽油杆结构、振动及作业温度的影响，建立适用于碳纤维连续抽油杆冲程损失的计算模型(以下简称“冲程损失计算新方法”)。

碳纤维连续抽油杆通常是由树脂材料对碳纤维材料进行填充成型，起到了粘结作用，与碳纤维材料一同构成碳纤维复合材料，有时为了防磨，会在成型抽油杆外加上一层包覆材料，通常采用聚四氟乙烯进行包裹^[20-21]。常用碳纤维连续抽油杆的结构如图 2所示。

图 2 碳纤维连续抽油杆的基本结构 Fig.2 The basic structure of a carbon fiber continuous sucker rod

图选项

图 2所示碳纤维连续抽油杆中，受各材料弹性模量不同的影响，用式(4) 计算其冲程损失会产生较大误差。为此，需要将碳纤维连续抽油杆分为碳纤维复合材料和包覆层材料分别进行分析。

在采油作业中，液柱载荷的表达式为^[9]：

(5)

式中：F为碳纤维连续抽油杆的总作用力，kN。

在F作用下，碳纤维连续抽油杆中的碳纤维复合材料和包覆层材料同时产生变形，且变形量大小相同。由此可知：

(6)

(7)

式中：F₁和F₂分别为碳纤维复合材料和包覆层材料所受分力，kN；E₁和E₂分别为碳纤维复合材料和包覆层材料的弹性模量，MPa；A₁和A₂分别为碳纤维复合材料和包覆层材料的截面积，m²。

联立式(6) 和式(7) 可得：

(8)

(9)

将式(8) 和式(9) 代入式(6)，再联立式(1)—式(3)，得到碳纤维连续抽油杆的变形量与弹性模量和截面积的关系：

(10)

不同材料的弹性模量随井下作业温度变化而产生的变化率不同，碳纤维连续抽油杆包覆层材料常采用聚四氟乙烯，其弹性模量随温度升高呈下降趋势，如图 3所示^[22]。

图 3 聚四氟乙烯弹性模量随温度的变化曲线 Fig.3 Changes in elastic modulus of PTFE related to temperatures

图选项

根据图 3可得，聚四氟乙烯的弹性模量随温度变化的曲线方程为^[22]：

(11)

式中：t为作业温度，℃。

同样，常用作碳纤维连续抽油杆填充材料的环氧树脂及碳纤复合维材料的弹性模量也均随作业温度升高呈下降趋势^[23-24]，其中碳纤维复合材料的弹性模量随温度的变化曲线如图 4所示^[25]。

图 4 碳纤维复合材料的弹性模量随温度的变化曲线 Fig.4 Changes in elastic modulus of carbon fiber composite materials with temperatures

图选项

根据图 4，可拟合得到填充后碳纤维复合材料的弹性模量随温度变化的方程为^[25]：

(12)

在生产过程中，采油环境的温度随井深变化而改变，通常油井井深增加100 m，地层温度上升3 ℃^[26]，产出液温度往往要比地层温度偏高，需要对温度进行修正，表达式为：

(13)

式中：η为温度修正系数。

据上述分析，碳纤维复合材料及包覆层材料的弹性模量是以温度为变量的函数，表示为：

(14)

作业温度的变化与井深有关，碳纤维复合材料及包覆层材料的弹性模量E可以用井深x表示：

(15)

对碳纤维连续抽油杆在轴向上进行微元划分，通过积分的形式得出其有液柱载荷下的变形量：

(16)

碳纤维连续抽油杆无液柱载荷下的变形量：

(17)

则碳纤维连续抽油杆的冲程损失为：

(18)

钢材料和油管材料在作业温度变化时的弹性模量变化不显著，均可采用原有计算公式：

(19)

(20)

式中：λ₂为钢杆的变形量，m；λ₃为油管的变形量，m。

碳纤维连续抽油杆可看作由碳纤维复合材料与聚酯氟乙烯材料并联的2种弹性体，其弹性系数分别为k₁和k₂，在作业过程中必须要避免碳纤维连续抽油杆发生共振现象，且碳纤维连续抽油杆在振动影响下也会产生一定量的冲程损失。抽油杆在工作时，还将受到一个活塞带来的阻尼力，假设其阻尼系数为c，连接的加重钢杆弹性系数为k₃，则整个系统(两级抽油杆)的振动模型如图 5所示。图 5中，Q为连续抽油杆所受的径向外力，kN；m为连续抽油杆的质量，kg。

图 5 两级抽油杆的振动模型 Fig.5 Vibration model of the two-stage sucker rod

图选项

图 5所示模型中，碳纤维连续抽油杆的弹性变形量为：

(21)

式中：δ_st为碳纤维复合材料与聚四氟乙烯材料的弹性变形量，m。

k₁和k₂并联，则其可等效为k₄，因此由式(21) 可得：

(22)

加重钢杆和碳纤维连续抽油杆的总的弹性变形量为：

(23)

式中：δ′_st为加重钢杆和碳纤维连续抽油杆总的弹性变形量，m；δ_st1′为加重钢杆的弹性变形量，m；δ_st2′为碳纤维连续抽油杆的弹性变形量，m。

k₄与k₃串联，可进一步等效为k, 则：

(24)

将碳纤维连续抽油杆的振动模型简化为单自由度有阻尼强迫振动模型，令，计算可得其振动模型的微分方程全解为：

(25)

式中：A，α为积分常数；ω, ω_n分别为碳纤维连续抽油杆的固有频率和振动频率，rad/s；b为碳纤维连续抽油杆振动的振幅，m；ε为初相位，rad；h为位移差，m；n为振动次数。

将碳纤维连续抽油杆与加重钢杆看作两级抽油杆，在不同边界条件下对每级杆柱纵向振动的波动方程进行求解，可得出柱塞位移与光杆载荷同步增大的对应奇次谐波的共振条件是：

(26)

泵柱塞位移无影响，仅使载荷增大的对应偶次谐波的共振条件是：

(27)

其中

(28)

则碳纤维连续抽油杆在振动条件下产生的冲程损失计算式为：

(29)

综上所述，碳纤维连续抽油杆冲程损失的最终计算式为：

(30)

以某油田1口井为例对常规冲程损失计算方法和冲程损失计算新方法的计算结果进行比较，分析新模型的计算精度。

该井使用的碳纤维连续抽油杆直径为19.0 mm，长度为1 100.00 m；加重钢杆直径28.0 mm，长度为400.00 m；动液面高度为602.5 m；油管外径为56.0 mm，壁厚为4.0 mm。碳纤维复合材料密度为1.78 g/cm³，常温下弹性模量为147.9 GPa；聚四氟乙烯密度为2.2 g/cm³，常温下弹性模量为73.3 MPa；加重钢杆密度为7.85 g/cm³，常温下弹性模量为206 GPa；油管密度为7.85 g/cm³，常温下弹性模量为206 GPa；产出液密度为0.95 g/cm³。

该井的实际工况参数为：油管直径56.0 mm，冲程3.0 m，冲次4.3 min^-1，泵挂深度1 520.00 m。该井现场实测示功图见图 6。

图 6 井例实测示功图 Fig.6 Measured lindicator diagram of testing well

图选项

由图 6可知，碳纤维连续抽油杆的冲程损失λ_l=1.05 m。将上述相关数据代入式(4) 进行计算，得出冲程损失的计算值λ_l=0.702 5 m。可以看出，用常规计算方法计算得到的碳纤维连续抽油杆冲程损失显著偏小，相对误差高达33.1%。这会导致无法精确计算油泵防冲距，影响油田生产^[27-28]。

测量可知，该井所用直径19.0 mm的碳纤维连续抽油杆截面积中，碳纤维复合材料面积占比为46.8%，聚四氟乙烯面积占比为53.2%。若不考虑温度对弹性模量影响的情况，将相关数据代入式(10)，可计算得出碳纤维连续抽油杆冲程损失Δl=0.615 2 m，结合式(19) 和式(20) 可得总冲程损失λ=0.908 5 m。与实测1.05 m相比，该计算值的相对误差为13.5%，与采用常规冲程损失计算方法的相对误差33.1%相比，误差大幅减小。

进一步考虑作业温度的影响进行计算。根据傅耀军等人^[29]的研究成果，取温度修正系数η=1.1，得λ₁=0.624 m，继而得出总冲程损失λ=1.012 m。该值与实测值1.05 m相比，相对误差仅为3.6%，误差更小，完全满足碳纤维抽油杆现场使用的要求。

1) 碳纤维连续抽油杆由碳纤维复合材料和包覆材料组成，其弹性模量应为碳纤维复合材料和包覆材料复合的弹性模量。

2) 用计算钢质抽油杆冲程损失的方法计算碳纤维连续抽油杆的冲程损失时，若不考虑碳纤维连续抽油杆的结构特征而简单地用碳纤维一种材料的弹性模量，且不考虑振动对冲程损失带来的影响，则其计算结果误差较大。

3) 建立的适用于碳纤维连续抽油杆冲程损失的计算模型，其计算误差仅为3.6%，与常规计算方法的误差33.1%相比，精度明显提高，可以满足碳纤维连续抽油杆现场使用的要求。