页岩气是指赋存于富有机质泥页岩及其夹层中，以吸附和游离状态为主要存在方式的非常规天然气。由于页岩气藏具有低孔隙度、低渗透率的特征，需要对储层进行压裂才能获得较高的产量^[1]。在利用水力压裂改造时，页岩气储层裂缝会增加，压裂裂缝走向的不确定性也容易造成储层流体沿着裂缝流入直井段井筒环空中^[2]，如果井筒环空内的水泥环封隔失效，就会造成页岩气井井口环空带压。

截至目前，已有多位学者对井筒环空内的套管-水泥环-地层系统受力特性进行了研究，并取得了一定的成果。房军、王耀锋等人^[2-5]推导了非均匀地应力和均匀内压共同作用下套管及水泥环在理想状况下的受载线性代数方程组计算表达式；王宴滨等人^[6-7]分析了多层套管组合系统在理想固井状况下受非均匀地应力和均匀内压时的力学特性，提出了相应的理论计算方法；李军、殷有泉等人^[8-11]讨论了均匀地应力作用下的套管-水泥环受力；初纬等人^[12]对单层套管-水泥环系统的微环隙进行了研究，对套管内压连续变化时微环隙产生的力学机理进行了分析，并给出了微环隙大小的计算公式；许红林等人^[13]研究了单层套管系统在压力和温度共同作用下的水泥环受力状态，认为低弹性模量的水泥环有利于提高水泥环的整体力学性能。

但是，前人对目前页岩气井出现的严重的环空带压现象并未进行全面深入的分析研究。关于这一问题，需要综合考虑压裂及生产过程中套管内压变化、温度变化、双层套管系统(套管-水泥环-套管-水泥环-地层)的复杂条件对水泥环封隔性能的影响。为此，笔者建立了双层套管系统力学与温度变化计算模型，讨论了页岩气井直井段双层套管和水泥环参数对水泥环界面径向应力及封隔能力的影响规律，并通过示例井介绍了力学方法的应用，分析了现场页岩气井水泥环界面的力学状态。

页岩气井体积压裂过程中及体积压裂结束后页岩储层内流体的流动情况如图 1所示。压裂后的页岩气储层内含有大量压裂裂缝，形成压裂液及页岩气的流通通道。裂缝中的页岩气和压裂液在裂缝中聚集并形成高压，当流体压力达到裂缝扩展所需要的极限压力后，裂缝扩展并形成瞬时低压空间，流体将沿着新的裂缝继续向前流动和聚集，直至产生新的压力平衡后才停止流动。

图 1 页岩气储层内流体流动情况示意 Fig.1 Fluid flow in a shale gas formation

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关于页岩气地层压裂过程中水平段水泥环受力及损坏的机理，文献[14]认为水平段水泥环的损坏将引起压裂液在套管外壁流动。而目前发生的页岩气井环空带压情况显示，不仅水平段出现了井筒环空流体窜流，直井段同样出现了窜流。

按照目前页岩气井的井身结构，可以将直井段计算模型分为双层套管(中间套管+生产套管)和三层套管(表层套管+中间套管+生产套管)2类模型。本文主要对双层套管模型(套管-水泥环-套管-水泥环-地层)进行分析研究。页岩气井固井结束后，套管与水泥环沿井眼轴线方向的变形受到限制，力学模型可以简化为平面应变模型，如图 2所示。

图 2 页岩气井双层套管应力分析模型 Fig.2 Stress analysis model for a double casing system in a shale gas well

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图 2中：σ为地应力，MPa；p_in为内层套管内压，MPa；平面应变模型由内向外分别为内层套管、内层水泥环、外层套管、外层水泥环、地层，并将各圆环分别编号为1，2，3，4，5；① 为内层套管与内层水泥环的接触面(称为第一界面)，② 为内层水泥环与外层套管的接触面(称为第二界面)，③ 为外层套管与外层水泥环的接触面(称为第三界面)，④ 为外层水泥环与地层的接触面(称为第四界面)。考虑页岩气井较浅，最大、最小地应力差别较小，故假设页岩气井双层套管系统地应力环境为均匀地应力，研究页岩气井双层套管系统受套管内流体压力和均匀地应力共同作用下的受力特性。

页岩气井固井结束后的体积压裂过程中，套管内流体压力急剧升高，通常达到60~100 MPa，此时内层套管内承受的流体压力较高。假设套管和水泥环接触良好，引入拉梅公式^[11]分析系统内各圆环的受力并计算其位移。基于界面上应力相等及位移连续条件，求解界面上的应力计算表达式，并讨论套管内压和地应力对双层套管系统各界面受力的影响规律。

设套管内壁载荷为σ₀，第一界面的界面径向应力为σ₁，第二界面的界面径向应力为σ₂，第三界面的界面径向应力为σ₃，第四界面的界面径向应力为σ₄，地应力为σ₅，将压应力表示为正值，单位均为MPa；内层套管内径为a，第一界面半径为b，第二界面半径为c，第三界面半径为d，第四界面半径为e，页岩地层半径设为f且远大于e，单位均为mm。将上述参数代入弹性力学中的厚壁圆筒任意位置位移计算公式^[15]，可计算双层套管系统中编号为i的圆环中任意位置ρ_i处的位移(ρ_i为任意一点距井眼中心位置的距离，mm)，计算公式为：

(1)

式中：u_r为径向位移, mm；i为套管、水泥环和地层的圆环编号(i=1，2，3，4，5)；E_i为圆环i的弹性模量，GPa；ν_i为圆环i的泊松比；R_i为圆环i的外半径，mm；r_i为圆环i的内半径，mm。

双层套管系统内各圆环编号及几何尺寸为：内层套管(圆环1)：i=1，R₁=b，r₁=a；内层水泥环(圆环2)：i=2，R₂=c，r₂=b；外层套管(圆环3)：i=3，R₃=d，r₃=c；外层水泥环(圆环4)：i=4，R₄=e，r₄=d；页岩地层(圆环5)：i=5，R₅=f，r₅=e。

套管、水泥环、地层在界面处的位移相等，将相关参数代入式(1)，可计算得到界面上的径向应力。

当ρ₁=ρ₂=b时，u_r¹=u_r²，代入式(1) 化简可得：

(2)

当ρ₂=ρ₃=c时，u_r²=u_r³，代入式(1) 化简可得：

(3)

当ρ₃=ρ₄=d时，u_r³=u_r⁴，代入式(1) 化简可得：

(4)

当ρ₄=ρ₅=e时，u_r⁴=u_r⁵，代入式(1) 化简可得：

(5)

式(2)—式(5) 中，K₁, K₂, …, K₈是为简化表达式而引入的代数式，其表达式依次为：，。其中，，。

体积压裂过程中，页岩气井井眼附近温度降低；体积压裂结束后或页岩气生产过程中，井眼附近温度升高。井眼附近各圆环材料随着温度的变化产生膨胀或收缩，由于膨胀系数不同且膨胀不能自由进行，因而诱发温度应力，其计算公式为^[15]：

(6)

需要获得第i界面处的温度t_i才能应用式(6) 计算温度应力。故采用极坐标下圆筒稳态导热方程计算双层套管系统的温度变换情况^[16]，其导热方程为:

(7)

第i界面处的温度为t_i，i=1，2，3，4。生产套管内温度为t₀，地层温度为t₅，圆环i的导热系数为λ_i(i=1，2，3，4，5)。单位长度圆筒的导热热流量Φ的计算公式为：

(8)

结合傅里叶定律可推导得出双层套管系统圆筒导热热流量Φ的计算公式为：

(9)

由式(8)、式(9) 求得Φ后，可得第i界面处的温度t_i：

(10)

式中：j为叠加求和计算过程中的符号变量。

由式(7) 和式(10) 可求得双层套管系统内部的温度分布：

(11)

把内层套管内的流体温度、地层温度、各圆环尺寸及热力学参数代入式(7)—式(11)，即可求得直井段双层套管系统井筒及围岩的温度分布。根据已求得的温度数据，利用式(6) 可计算得到套管、水泥环、地层上及界面上的温度应力。

为向研究页岩气井环空内水泥环的封隔能力提供依据，笔者分析了井筒内温度、套管尺寸、地应力和水泥环弹性模量等因素对界面径向应力的影响。

压裂过程中，由于压裂液排量大，压裂液在井筒内流动过程中升温很慢，因此假定直井段套管内压裂液温度等于地面温度，内层套管内壁的温度等于压裂液温度。页岩气井生产一定时间后，由于页岩气储层的温度较高，则内层套管内温度升高并在较高温度下保持恒定，双层套管系统温度升高。当井筒内流体温度分别为10，30，50，70，90和110 ℃时，由式(8) 计算得到界面上径向温度应力与套管内壁温度的关系(见图 3)，由式(9) 计算得到井眼附近双层套管系统内任意位置的温度随着距井眼中心距离变化的曲线(见图 4)。其中，内层套管壁厚为12.0 mm，外径为139.7 mm；外层套管壁厚为12.0 mm，外径为244.5 mm；井眼直径为311.1 mm。

图 3 界面径向应力与井筒内温度的关系 Fig.3 Correlation between radial stress on interfaces and casing internal temperature

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图 4 双层套管系统温度变化曲线 Fig.4 Temperature variation in adouble casing system

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由图 3可知，随着内层套管内壁温度的升高，界面径向应力由拉应力逐渐变为压应力。内层套管内壁温度低于地层温度时，界面上产生径向拉应力，降低了水泥环对地层流体的封隔能力；内层套管内壁温度高于地层温度时，界面上产生径向压应力，有利于封隔地层流体，阻止流体在环空内流动。界面的径向应力由内向外逐渐减小，且第一界面的径向应力变化最快，最大界面径向温度应力为10.2 MPa。

由图 4可知，套管内的温度变化较小。在水泥环内，温度随着距井眼中心距离的增大呈线性减小趋势，减小的速率与井筒内温度和地层温度之间的温差成正比。由于套管钢材的导热系数较高，第一界面温度与内层套管内壁温度差值小于1 ℃，第二界面和第三界面的温度相近。

由于压裂施工时套管内流体压力为75~110 MPa，排量为10~15 m³/min，故假设压裂过程中内层套管内流体压力在0~100 MPa间变化，根据式(2)—式(5) 计算内层套管内压由0 MPa逐渐升至100 MPa过程中界面应力的变化情况，结果如图 5所示。其中，内层套管壁厚为12.0 mm，外径为139.7 mm；外层套管壁厚为12.0 mm，外径为244.5 mm；井眼直径为311.1 mm；地应力为15 MPa。

图 5 套管内压与界面径向应力的关系 Fig.5 Correlation between the radial stress on interfaces and internal pressure of casing

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由于页岩气储层埋深较浅，地应力为45~65 MPa，故计算地应力由0 MPa逐渐升至60 MPa过程中各界面径向应力的变化情况，结果见图 6。其中，内层套管壁厚为12.0 mm，外径为139.7 mm；外层套管壁厚为12.0 mm，外径为244.5 mm；井眼直径为311.1 mm；套管内压为30 MPa。

图 6 地应力与界面径向应力的关系 Fig.6 Correlation between radial stress on interfaces and in-situ stress

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由图 5可知，随着内层套管内压增大，界面径向应力增大。第一界面的径向应力增大最快，界面最大径向应力为57.9 MPa。第二界面的径向应力受内层套管内压影响也较大，最大径向应力为38.2 MPa。第三界面和第四界面的径向应力差别较小，且受内层套管内压影响较小，主要受地应力的影响。

由图 6可知，地应力较低时，双层套管系统各界面径向应力均较低，说明在较浅位置的套管-水泥环系统封隔地层流体的能力较低。当地层流体由于各种原因流入浅部井筒环空内时，界面径向应力低于流体压力将导致流体在井筒环空内向地面窜流，形成环空带压。在浅部地层，第三界面和第四界面的径向应力低于第一界面和第二界面；相反，在深部地层，第一界面和第二界面的径向应力低于第三界面和第四界面。

由于页岩气井需要进行压裂完井，对套管壁厚的要求较高，套管壁厚是影响页岩气井井筒完整性的重要因素，但是壁厚较厚的套管必然影响系统内各界面的径向应力，从而增加水泥环失效的风险，也增加了投资成本，需要对壁厚进行优化设计。为此，根据式(2)—式(7) 及式(9)，计算得到了不同内层套管和外层套管壁厚条件下的界面径向应力，结果分别如图 7和图 8所示。其中，内层套管内压为30 MPa，地应力为15 MPa。在图 7的数据计算中，内层套管内径为127.0 mm，壁厚变化范围为1~18 mm；外层套管外径为244.5 mm，壁厚为12.0 mm；井眼直径为311.1 mm。在图 8的数据计算中，内层套管内径为127.0 mm，壁厚为12.0 mm；外层套管内径为232.5 mm，壁厚变化范围为1~18 mm；井眼直径为311.1 mm。

图 7 内层套管壁厚与界面应力的关系 Fig.7 Correlation between radial stress on interfaces and thickness of internal casing

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图 8 外层套管壁厚与界面应力的关系 Fig.8 Correlation between radial stress on interfaces and thickness of external casing

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由图 7可知，内层套管壁厚对第一界面的径向应力影响较大，壁厚大于10 mm后，壁厚增大对界面径向应力影响较小，其余3个界面的径向应力受内层套管壁厚影响较小。第二界面和第四界面的径向应力最小，说明水泥环外壁是产生井筒环空内流体流动的危险位置。

由图 8可知，第二界面的径向应力受外层套管壁厚的影响较大，随着外层套管壁厚增大而线性减小；第三界面和第四界面的径向应力受外层套管壁厚影响较小。

由图 7和图 8可以看出，内层套管壁厚对界面径向应力的影响远远大于外层套管壁厚对界面径向应力的影响。

水泥环弹性模量是影响套管应力状态、变形和界面径向应力的重要因素。根据式(2)—式(7) 及式(9)，计算得到不同水泥环弹性模量条件下的界面径向应力，结果见图 9。其中，内层套管壁厚为12.0 mm，外径为139.7 mm；外层套管壁厚为12.0 mm，外径为244.5 mm；井眼直径为311.1 mm；地应力为15 MPa；套管内压为30 MPa。

图 9 水泥环弹性模量与界面径向应力的关系 Fig.9 Correlation between radial stress on interfaces and elastic modulus of cement sheath

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由图 9可知，水泥环弹性模量越大，界面径向应力越大。第一界面和第二界面的径向应力受弹性模量影响较大，第三界面和第四界面的径向应力受弹性模量影响较小。水泥环弹性模量大于16 GPa后，界面径向应力的增大速率降低。而根据前人的研究可知，弹性模量增大将导致压裂时水泥环周向应力增大，造成水泥环破坏。因此，应综合考虑界面应力变化及水泥环的破坏因素，优选水泥环弹性模量。

为讨论本文力学分析的有效性及实际井眼内水泥环的封隔能力，以四川盆地的1口页岩气井为例，分析计算压裂及生产过程中界面径向应力随井深的变化情况。已知该页岩气井井深为2 400 m，地应力梯度为0.023 MPa/m，井口处地应力为0 MPa，压裂液地面温度为25 ℃。内层套管内径为115.4 mm，外径为139.7 mm；外层套管内径为220.2 mm，外径244.5 mm；水泥环弹性模量为15 GPa；井眼直径311.1 mm；地层压力为35 MPa；地温梯度为0.046 ℃/m；压裂时泵压为75 MPa。计算得到压裂和生产过程中界面径向应力与井深的关系曲线，分别如图 10和图 11所示。

图 10 页岩气井压裂过程中界面径向应力与井深的关系 Fig.10 Correlation between radial stress on interfaces and well depth in shale gas wells during fracturing

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图 11 页岩气井生产过程中界面径向应力与井深的关系 Fig.11 Correlation between radial stress on interfaces and well depth in shale gas well during development

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从图 10和图 11可以看出，压裂和生产过程中，随着井深增加，界面径向应力呈线性增加。压裂过程中，第一界面和第二界面的径向应力较大，井深1 800 m处第一界面和第二界面的径向应力分别达到58和45 MPa，远高于页岩气储层的地层压力(35 MPa)，在固井质量满足要求的情况下能够有效封隔流体，防止页岩气在界面内窜流。而在生产过程中，井深1 800 m处第一界面和第二界面的径向应力分别为43和35 MPa，等于或略高于储层地层压力，存在发生页岩气通过界面通道在井眼环空内流动的风险；第三界面和第四界面的径向应力受压裂和生产过程中内压、温度变化的影响较小，封隔页岩气的能力较好，因此第一界面和第二界面是危险点。

提高页岩气井深部井段的固井质量，能够有效提高封隔页岩气井流体的能力，降低产生环空带压的可能性。由于页岩气水平井造斜段固井质量难以保证，当井深大于1 800 m的井眼环空内出现流体流动时，由于浅部井眼内套管-水泥环系统的封隔能力较弱，导致发生环空带压的可能性增大。优化生产套管的完井作业，提高第一界面和第二界面的封隔能力，有利于降低页岩气井形成环空带压的风险。

1) 通过建立的双层套管系统各界面应力和温度变化计算模型，分析计算了内压及温度变化对页岩气井直井段井眼系统各界面上应力的影响。结果发现，井深越深, 水泥环封隔能力越强，提高直井段下部水泥环的封隔能力是提高整个井筒环空水泥环封隔能力的关键。

2) 温度升高、套管壁厚减小均有利于增大界面的径向应力，在满足套管强度要求的前提下可适当减小套管壁厚；增加水泥环弹性模量有利于增大界面径向应力，但同时因套管周向应力变大而发生挤毁套管的概率增大，因此，应综合考虑优选水泥环弹性模量。

3) 井深较深处第一界面和第二界面的径向应力较小，是水泥环封隔失效的危险点，提高第一界面和第二界面的固井质量，有利于降低页岩气井形成环空带压的风险。