煤层气储层具有低孔隙度、低渗透率的特性，大都需要经过储层改造才能实现煤层气的工业化开采。水力压裂是实现煤层气有效开发的重要技术手段之一，水力压裂起裂压力的准确计算和预测是压裂作业成功实施的重要前提，已成为煤层气井水力压裂相关研究的热点和难点。目前对于砂岩储层水力压裂起裂压力的研究，主要依据弹性力学拉伸破坏准则，以假设地层均质为前提，建立相应计算模型^{[1, 2, 3, 4]}；对于裂缝性储层，金衍、陈勉等人^{[5, 6]}考虑储层裂缝对裸眼井破裂压力的影响，建立了相应计算模型；赵金洲、任岚等人^{[7, 8, 9]}建立了裂缝性储层射孔完井条件下的破裂压力计算模型，分析了裂缝性储层水力压裂不同起裂模式对起裂压力的影响。对于煤层水力压裂起裂压力的计算，主要借鉴已有砂岩储层起裂压力计算方法，或采用有限元软件进行模拟^[10]，还没有较为完善的理论模型来分析煤岩割理裂隙等对起裂压力的影响。为此，笔者考虑煤岩本体与割理力学性质的差异，分析了裸眼井壁和射孔孔壁的应力分布；基于割理不同空间位置的受力状况，建立了不同完井方式下的煤层气井水力压裂起裂压力计算模型，以用于计算起裂压力和确定相应起裂模式。

煤岩体是发育大量割理(面割理和端割理都比较发育)、裂隙等弱面的裂隙岩体，在空间上交割成立体网状(见图1)。面割理与层面近似平行，一般呈板状延伸，连续性好；端割理只发育于2条面割理之间，与层面近似垂直，一般连续性较差。

图 1 煤层割理系统简化模型 Fig.1 Simplified model of a coal bed cleat system

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煤岩基质裂隙网络系统比较复杂，为了解煤层气井水力压裂裂缝起裂机理，考虑煤岩内结构弱面的影响，建立了煤层气井井壁围岩二维力学模型和射孔井孔壁与割理交汇物理模型(见图2)。

图 2 煤层气井井壁围岩与射孔完井力学模型 Fig.2 Mechanical model of sidewall surrounding rock and perforated completion in a CBM well

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煤岩体承受最大水平主应力(σ_H)、最小水平主应力(σ_h)和井眼内流体压力(p_w)的作用。煤岩体内的面割理和端割理2种裂隙相交组合分布，其中面割理与最大水平主应力方向的夹角为A，由于煤岩体面割理与端割理间近似垂直发育，故面割理与端割理的夹角B取为90°。基本假设如下：1)压裂破裂前的煤岩是均匀各向同性的线弹性多孔介质，面割理有相同的走向和倾角，端割理也具有相同走向和倾角，忽略面割理与端割理间的相互影响；2)忽略压裂液与煤岩之间物理化学作用的影响；3)由于煤层气井大都较浅，忽略压裂液与井筒周围煤岩温差引起的附加热应力的影响；4)煤岩内面割理或端割理与裸眼井壁和射孔孔眼相交；5)对于射孔井，忽略水泥环对套管-水泥环胶结强度和裂缝起裂压力的影响。

在最大水平主应力、最小水平主应力、垂向主应力等3个力和井筒内压裂液压力以及压裂液渗滤效应的作用下，井筒附近区域存在应力集中现象。假设拉应力为负，压应力为正，则可以得出^[11]：

式(1)为裸眼井壁的应力分布计算模型，而对于射孔完井，近井筒和射孔孔眼附近都会有应力集中现象。考虑到射孔完井是在下套管固井后实施的，故计算射孔井井壁应力时不考虑压裂液的渗滤效应，可以忽略式(1)中流体渗流的附加应力。将射孔孔眼看作小的裸眼井筒与井眼轴线正交(如图3所示)，孔眼受力由井眼周围的应力分布决定：孔眼轴向受σ_r，σ_θ和σ_z的作用，还受τ_rθ的作用。由于压裂时孔眼壁面同时受压裂液压力的作用，因此还应考虑压裂液的渗流效应，因而射孔孔壁周围的应力分布为^[8]：

图 3 射孔孔眼围岩受力示意 Fig.3 Forces on rocks around perforation holes

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裸眼完井条件下，井眼可能钻遇煤层内部的面割理和端割理，而由于割理的存在，将影响井壁上压裂裂缝的起裂位置和起裂压力的大小。可以根据裸眼井壁应力状态和煤层割理受力状况，应用断裂力学理论，分别建立裸眼完井压裂裂缝从煤岩本体和割理开裂的起裂压力计算模型。

图4所示为割理与裸眼井筒的交汇情况。根据式(1)可知,井壁上(r=r_w)各方向的剪应力均为0，因此裸眼井壁处的3个主应力可表示为：

图 4 割理与煤层裸眼井筒的相交情况示意 Fig.4 Intersection between open borehole and cleats in a coal bed

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在主应力作用下，裸眼井壁可能发生的破坏形式有5种，分别是从井壁煤岩本体起裂、沿面割理张性破裂、沿面割理剪切破坏、沿端割理张性破裂和沿端割理剪切破坏。应根据相应力学状态的计算分析结果来判别压裂过程中发生的破坏形式，笔者参考文献^[5]进行以下分析。

水力压裂时，裸眼井壁的周向应力σ_θ为拉应力，根据断裂力学的拉伸破坏准则，井壁起裂条件可以表示为：

式(4)描述了裸眼井壁起裂是由于井眼内液柱压力增大、使煤岩所受的周向应力超过煤岩的抗张强度造成的，属于拉伸破坏。通常起裂方位与σ_θ最小值的方向一致，对应的方位角θ为0°或180°。

煤层裸眼井水力压裂沿割理起裂，可能发生于面割理处，也可能发生于端割理处，主要取决于割理受力状况及相应的压裂液压力大小。笔者以面割理的破坏起裂为例，详细分析沿割理起裂的力学机理。

在大地坐标系(i，j，k)下(其中,i为地理正北方向单位矢量，j为地理正东方向单位矢量，k为地心铅垂反方向单位矢量)，面割理走向为北偏东N_m度，水平倾角为D_m度，端割理走向为北偏东N_d度，且N_d-N_m=±π/2，水平倾角为D_d度，最大水平主应力方向为北偏东H_z度。受力分析的二维水平截面与面割理在井壁的交点M_c方位为北偏东N_mc度，与端割理在井壁的交点D_c方位为北偏东N_dc度。

在上述坐标系下，面割理的方向矢量为：

主应力σ₁的方向矢量为：

主应力σ₂的方向矢量为：

主应力σ₃的方向矢量为：

在面割理与裸眼井壁交点处，面割理受到的正应力为：

式中：σ_mn为作用于面割理上的正应力，MPa；γ_mi为面割理的面法线与第i(i=1，2，3)个主应力之间的夹角，(°)。

根据弹塑性力学两向量夹角公式，γ_mi的余弦可表示为：

通过计算，可分别得到γ_mi的表达式：

由于面割理与井壁相交，可认为此时井眼内液柱压力等于面割理内的流体压力，当该压力达到或大于面割理所受的有效压应力时，将沿面割理发生张性起裂，其起裂条件可以表示为：

J.C.Jaeger等人^[12]建立了裂隙岩体强度计算模型，金衍等人^[5]将其应用于裂缝性地层垂直井水力裂缝起裂计算。煤岩割理相对于煤岩本体而言，也可看成是力学性质薄弱的结构弱面，当作用于面割理的剪切应力大于面割理本身的抗剪切强度时，面割理发生剪切破坏，故有：

水力裂缝沿端割理张性起裂和剪切起裂的力学机理与面割理处的起裂相同，需分别分析压裂时端割理承受的壁面正应力和剪应力大小，再根据相应压裂液压力下的抗拉强度和抗剪强度情况分析其发生起裂的模式，此处不再赘述。

煤层裸眼完井水力压裂时，裂缝的起裂压力应根据煤岩本体、煤岩面割理和端割理等几种起裂模式中最易发生的模式来确定，通过计算确定不同类型起裂压力，最小值即为实际的起裂压力。所以，煤层裸眼完井水力压裂起裂压力为：

根据鹤岗矿区南部裸眼完井煤层气井HX-L1井的测井和取心资料，并经室内试验测定，得到计算基础参数如下：最大水平主应力12.29 MPa，方向北偏东72.32°，最小水平主应力10.14 MPa，上覆岩层应力12.56 MPa，地层孔隙压力7.41 MPa，孔隙度0.05，泊松比0.31，弹性模量3 800 MPa，煤岩本体抗张强度0.76 MPa，有效应力系数取值0.9，井眼半径0.1 m，面割理走向北偏东54°，面割理平均倾角89°，端割理平均倾角84°，面割理内煤岩粘聚力0.42 MPa，面割理内摩擦系数0.3，端割理内煤岩粘聚力0.57 MPa，端割理内摩擦系数0.4。

应用模型计算该井裸眼井段水力压裂沿煤岩本体起裂的压力为16.09 MPa，沿面割理张性起裂和剪切破坏的压力分别为14.81和16.24 MPa，而沿端割理张性起裂和剪切破坏的压力分别为19.17和25.03 MPa。根据计算结果判定该井压裂应从面割理处张性起裂，起裂压力为14.81 MPa。现场实际压裂施工井底压力计测量结果如图5所示。

图 5 HX-L1井压裂施工井底压力变化曲线 Fig.5 Changes of bottom hole pressures during fracturing of Well HX-L1

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由图5可知，该井破裂压力为15.42 MPa，与计算结果14.81 MPa较为接近，相对误差为3.96％，误差值在工程应用的许用范围内。实际破裂压力与模型计算结果的对比表明，该计算结果与实际情况相符，建立的裸眼完井煤层水力压裂裂缝起裂压力计算模型具有较好的适用性。

为了明确不同因素对裸眼完井煤层气井水力压裂起裂压力的影响，在割理发育方向确定的情况下，分析了煤层水平主应力差值、割理倾角和割理内煤岩粘聚力以及内摩擦系数对割理起裂压力的影响。

1) 割理倾角对起裂压力的影响。面割理和端割理分别在张性破裂、剪切破裂时，其水平倾角与破裂压力的关系曲线如图6所示。

图 6 割理倾角对割理起裂压力的影响 Fig.6 Impacts of cleat angles to fracture initiation pressures

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由图6可知，随着面割理和端割理水平倾角的增大，压裂时面割理和端割理发生张性破裂和剪切破裂的起裂压力减小，水平倾角等于0°时，压裂使面割理和端割理发生破坏所需的压力最大;割理倾角大于75°以后，发生张性和剪切破坏的起裂压力变化不大。

2) 割理内煤岩粘聚力和壁面内摩擦系数对起裂压力的影响。由于割理内煤岩粘聚力和壁面内摩擦系数的变化只对压裂时割理的剪切破坏起裂压力产生影响，因此只根据计算结果绘制了面割理和端割理的剪切破坏起裂压力变化曲线，粘聚力-破裂压力曲线见图7，内摩擦系数-破裂压力曲线见图8。

图 7 割理内煤岩粘聚力对割理剪切破裂压力的影响 Fig.7 Effect of adhesive forces in coal-bed cleat to shear fracture pressures

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从图7、图8可以得出，随着割理内煤岩粘聚力的增大，面割理和端割理剪切破坏起裂压力均增大，但增幅较小，说明割理内煤岩粘聚力对割理剪切破坏起裂压力的影响并不显著；而随着割理壁面内摩擦系数的增大，面割理和端割理的剪切破坏起裂压力明显增大，表明壁面内摩擦系数的改变对割理剪切破坏起裂压力影响显著。

图 8 割理壁面内摩擦系数对割理剪切破裂压力的影响 Fig.8 Impacts of internal friction coefficients in cleat to shear fracture pressures of cleat

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3) 煤层水平主应力差值对起裂压力的影响。为了分析煤层最大、最小水平主应力差值对裸眼井起裂压力的影响，保证其他参数不变，最小水平主应力分别为8.29,9.29,10.29,11.29和12.29 MPa，使对应的煤层水平主应力差分别为4，3，2，1和0 MPa，计算并绘制了破裂压力-水平主应力差曲线(见图9)。

图 9 煤层水平主应力差值对割理起裂压力的影响 Fig.9 Impacts of differences in coal bed horizontal principle stresses to fracture initiation pressures

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由图9可知，随着煤层水平主应力差的增大，面割理发生张性和剪切破坏的起裂压力均减小，而端割理发生张性和剪切破坏的起裂压力均增大，并且无论是面割理还是端割理，无论发生哪种破坏起裂，起裂压力随煤层水平主应力差值的变化都呈近似直线关系。另外，从数值的变化幅度也可以看出，煤层水平主应力差的变化对面割理起裂压力的影响更为明显。

水力压裂裂缝沿射孔孔壁煤岩本体起裂时，起裂位置应在孔壁最大拉应力处。射孔孔眼壁面任意点的最大拉应力可通过弹塑性力学的复合应力理论计算，其计算式为：

射孔孔壁的最大拉应力σ(β)是关于β的函数，对式(17)求导可得到相应极值点对应的σ(β)最大值。假设式(17)求导得射孔孔壁煤岩本体起裂的方位角为β₀，相应的最大拉应力为σ(β₀)，则根据弹性力学的张性破裂准则，应用有效应力计算射孔孔壁煤岩本体的起裂条件为：

根据“3.3节”的分析计算可知，当割理水平倾角较大时，起裂压力变化较小，因此为简化计算模型，将割理倾角均假定为90°，只考虑二维平面条件下的割理起裂问题。另据文献^{[8, 9]}可知，该情况下裂缝大多为张性起裂，故开展下述理论分析。

当射孔孔眼与面割理或端割理相交时，水力压裂裂缝将以不同的起裂模式从面割理或端割理处开启。射孔孔眼与面割理相交时，可建立如图10所示物理模型(图中，C为射孔孔眼轴线与x轴的夹角，(°))。对于面割理上任意一点(r,Φ)，则有：

图 10 射孔孔眼与面割理相交时的井壁应力分布 Fig.10 Distribution of sidewall stresses around intersections between perforation holes and face cleats

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确定σ_x和σ_y时，可通过式(2)确定射孔孔眼周围极坐标系下的应力分布，进行受力分解并在xy平面上进行坐标变换求取。特别是当xy平面为过射孔孔眼轴线的截面时，可由孔眼应力分布进行坐标变换得出：

水力压裂时，孔眼内流体压力不断增大，面割理与孔壁交点处的流体压力大于面割理所受的正应力时，面割理发生张性破裂，因此：

根据面割理的张性起裂模式,能够计算出射孔孔眼与面割理相交时裂缝的起裂压力，对于射孔孔眼与端割理相交的情况，其起裂压力计算方法与面割理的起裂计算方法相同。

对于射孔完井的煤层气井，其起裂模式和起裂压力取决于不同起裂模式下起裂压力的大小。假设煤岩本体起裂时裂缝起裂压力为p_bz，沿面割理起裂时起裂压力为p_mz，沿端割理起裂的起裂压力为p_dz。则水力压裂时，裂缝的实际起裂压力应为3个值中的最小值，其起裂模式为该值对应的起裂模式，裂缝起裂压力可表示为：

以煤层气井HX-3井为例进行计算，所用参数与HX-L1井基本相同，存在差别的基础数据如下：目的层段最小水平主应力为10.64 MPa，上覆岩层应力为12.96 MPa，地层孔隙压力8.81 MPa，孔隙度0.08，割理倾角82°～90°。

计算HX-3井水力压裂煤岩本体裂缝起裂压力为14.23 MPa，面割理起裂压力为10.71 MPa，端割理起裂压力为48.83 MPa，所以判定该井压裂应从面割理处起裂，起裂压力为10.71 MPa。现场实际压裂施工井底压力计测量结果见图11。

图 11 HX-3井压裂施工井口、井底压力测量结果 Fig.11 Measured surface and bottom pressures during fracturing of Well HX-3

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从图11可以看出，该井破裂压力为11.24 MPa，与计算结果10.71 MPa较为接近，相对误差为4.72％，在工程应用许用的误差值范围内。

1) 建立的煤层裸眼和射孔完井方式下水力压裂起裂压力计算模型,其计算结果与实测结果吻合较好，也证明了煤层水力压裂能够从割理处发生起裂，并且起裂压力低于煤岩本体起裂的压力。

2) 随着面割理和端割理水平倾角的增大，压裂时面割理和端割理发生张性破裂和剪切破裂的起裂压力减小；水平倾角等于0°时，压裂时面割理和端割理发生破坏所需的压力最大。

3) 割理内煤岩粘聚力改变对割理剪切破坏起裂压力的影响并不显著，而壁面内摩擦系数变化对割理剪切破坏起裂压力影响明显，随着割理壁面内摩擦系数的增大，面割理和端割理的剪切破坏起裂压力明显增大。