在进行气体钻井设计时，需要估计气体钻井所需的最小气体体积流量,以便选择合适的地面装备和准确预计井底压力及地面注入压力。目前，现场一般采用Angel模型计算气体钻井所需的最小气体体积流量。但钻井实践表明，该模型的计算结果往往比现场实际所需的最小气体体积流量低25%左右^{[1, 2, 3, 4]}。研究发现，应用Angel模型进行计算时，假设大气条件下所需的气体最小流速为定值，但在实际钻井过程中所需的最小气体流速应该为变值，计算时将该值作为定值会对计算结果造成误差。另外，Angel模型中阻力系数选取的是Gray试验结果的平均值，而在实际钻井过程中注气量和井身结构都会对阻力系数产生影响,如阻力系数简单地选取Gary试验结果的平均值会对计算结果造成很大误差^{[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]}。

鉴于此，笔者结合最小速度标准，求取不同条件下气体钻井中所需的最小气体流速，然后将其代入Angel模型对其进行修正,并引入气力运输理论中阻力系数的计算方法和颗粒群系数对Angel模型进行修正。计算结果表明，修正后的计算结果更接近于实际情况。

最小动能准则是把气体和固体混合物看成具有同一密度和流速的一种“流体”，即不考虑颗粒和流体间的相互作用。根据空气采矿钻井实践经验，有效携带固体颗粒大气条件下的最小环空流速为15.24 m/s。若井下流体与空气的携岩能力相当，则有：

式中：ρ_g为考察点处的气体密度，kg/m³；v_g为考察点处的气体流速，m/s；ρ_go为标况下的气体密度，kg/m³；v_go为标况下的气体流速,m/s。

Angel模型中，标准条件下气体的最小流速v_go是根据气体钻井实践得到的，在任何条件下都假设其为定值，这种假设会给计算结果带来误差。笔者将最小速度准则引入到Angel模型中，不再假设气体钻井所需最小气体流速为定值15.24 m/s，而是通过最小速度准则计算得到井内条件下所需的最小气体流速，然后将其转化为标准条件下的气体流速，并将该值赋予v_go，这样避免了Angel模型中因为选用固定最小气体流速对计算结果造成误差。同时，笔者还修正了Gray沉降末速度模型中的阻力系数，并引入了颗粒群系数。

气体最小流速准则的原理，即假设井下气体流速等于颗粒的最终沉降末速度与岩屑运移速度之和。

在静止的低黏液体中，固体颗粒由于重力作用而下沉，其最终沉降速度将达到恒定，称之为最终沉降速度。该速度受颗粒的尺寸、形状及密度，液体的密度、黏度及流型，颗粒间相互作用和颗粒与管壁间的相互作用等因素的影响。Gray在假设颗粒是圆形的基础上，提出了确定最小沉降速度的计算公式^[6]：

其中

式中：v_sl为颗粒沉降末速度,m/s；d_s为固体颗粒当量直径，m；ρ_s为固体颗粒密度，kg/m³;ρ_g为气体密度，kg/m³;C_d为阻力系数；ψ为球形度；D_H为流道水力直径，m；D_s为岩屑直径，m;v_p为钻头的机械钻速，m/h;N为钻头的转速，r/min。

岩屑运移速度由钻头的钻进速度和钻进时井眼中允许的运动颗粒数决定，根据文献[1]得：

式中：v_tr为携带岩屑所需的速度,m/s；v_p为钻速，m/h；C_p为岩屑体积分数，其值取0.04；A为井筒环空截面积，m²；d_b为钻头直径，m。

为了使岩屑及时离开井底，所需的最小气体流速等于岩屑的沉降末速度与岩屑运移速度之和，故携带固体颗粒的气体流速为：

Angel模型中的阻力系数采用了Gray试验结果的平均值，但阻力系数受气体流量、环空截面积等因素的影响，如简单地选用Gray试验结果的平均值会对计算结果造成很大误差。根据气力输送理论^[12]，对阻力系数进行修正。

雷诺数的表达式为：

式中：Re为雷诺数；D_h为流体环空水力学直径，m；μ_g为气体黏度，Pa·s；v_t为悬浮速度，数值上等于颗粒的沉降速度，m/s。

阻力系数C_d是一个与雷诺数Re有关的系数^[13]，其数学表达式为：

可以根据萨特兰公式计算不同温度、压力下的气体黏度，其表达式为：

式中：μ_f为气体黏度，Pa·s；μ₀为地面条件下的气体黏度，Pa·s；t₀为地面温度，℃；t为井筒温度，℃；B为常量,等于110.4。

式(2)假设颗粒沉降为自由沉降，但在现场实际应用中，由于井眼中含有大量颗粒，在岩屑上返过程中岩屑会相互碰撞，因此颗粒的行为不仅与单个颗粒的形状有关，还受到其他颗粒的影响。因此引入了Wen-Ching Yang提出的颗粒群的阻力修正系数^{[8, 14, 15]}：

根据式(9)、式(10)，对Gray最小速度方程中的阻力系数进行修正，修正后的公式为：

式中：ε为空隙率；G为颗粒质量流速，kg/s；C′_d为修正后的阻力系数。

先任意取一个C_d值，代入式(2)、式(3)和式(4)中，求出井内条件下可以携带岩屑的最小气体流速，再代入式(1)中求出所需的最小注气量，求出该注气量条件下的井底压力，通过理想气体状态方程，求出井下气体密度，通过式(8)求出井下气体黏度，将所求密度和黏度代入式(6)求出雷诺数，通过雷诺数与阻力系数的关系，得出阻力系数C_d，再代入式(9)中，得到修正后的阻力系数C′_d，如果C_d与C′_d相近，则最小气体流量即为所求的最小气体流量，如果C_d与C′_d误差较大，则重新假设一个C_d值进行计算。

计算流程如图1所示。

图 1 最小注气量计算流程 Fig.1 Calculation flow chart for minimum gas injection rate

图选项

利用文献[2]中的现场实例进行计算分析。已知井深3 650.00 m，管鞋深度2 840.00 m，钻杆外径127.0 mm，钻头直径215.9 mm，钻速10 m/h，转速50 r/min,地面温度9 ℃，注入温度38 ℃，地温梯度3 ℃/100m，井场海拔高度200 m，空气密度1.225 kg/m³，黏度1.8×10^-5Pa·s，岩屑密度2.7 g/cm³。

实际施工注气量为120 m³/min，根据Angel模型计算的注气量为77 m³/min，很难满足施工的需求。采用修正模型计算得到的结果为101.78 m³/min，更接近实际用气量，计算精度可以满足现场施工的需求。

Angel模型假设在任何条件下，气体钻井需要的大气条件下的气体最小环空流速都为15.24 m/s，然而在实际钻井过程中，机械钻速、岩屑直径和井身结构等都会对钻井所需的最小环空流速产生影响，假设所需的最小环空流速为定值会对最小注气量的计算结果造成误差。新模型通过引用阻力系数和颗粒群的阻力修正系数，将上述影响因素考虑进去，并可分析机械钻速、岩屑直径、井身结构对于最小注气量的影响。

气体钻井中，气体循环的一个重要作用就是携带岩屑，保证井底清洁。机械钻速会影响岩屑的产生速度，机械钻速越大，岩屑的上返速度越大，为了保证井底清洁所需的气体流速就越大。在其他参数不变的条件下，不同机械钻速与携岩所需大气条件下气体最小环空流速的关系如图1所示。

图 2 机械钻速与携岩所需最小环空流速的关系 Fig.2 The relation of the rate of penetration vs. the minimum annulus flow rate for cutting carrying

图选项

从图1可以看出，当机械钻速大于9 m/h时，所需气体最小环空流速大于15.24 m/h，即Angel模型中所假设的在任何情况下所需的气体最小环空流速；而当机械钻速小于9.00 m/h时，所需的气体最小环空流速小于15.24 m/h。这说明在气体钻井过程中，最小环空流速随机械钻速线性递增。随着机械钻速增大，所需气体最小环空流速增大，从而导致所需最小注气量增大。如果采用Angel模型进行计算，无论什么条件下，都将所需的气体最小环空流速假设为15.24 m/h，会导致注气量的计算结果与实际情况偏差很大。

采用不同的钻头会造成产生岩屑的直径不同，在相同钻速条件下，岩屑直径不同会导致所需的最小注气量不同。在保持其他参数不变的情况下，计算不同岩屑直径条件下所需的最小环空气体流速，结果见图3。

图 3 岩屑直径和最小气体流速的关系 Fig.3 The relation of cutting diameters vs. minimum gas flow rate

图选项

从图3可以看出，岩屑直径对气体最小环空流速影响很大。随着岩屑直径增大，气体最小环空流速快速增大。Angel模型没有考虑岩屑直径的影响，而是假设在任何条件下只要气体达到在大气条件下的流速15.24 m/s即可。这样看似避免了对岩屑大小判断不准确带来的误差，但实际上是增大了计算的误差，因为当岩屑的直径达到一定尺寸后，所需的最小环空流速实际上要大于其假设的数值，即实际所需注气量是要大于Angel模型求得的注气量。

岩屑在环空中上返时，不是单个颗粒运动，而是呈颗粒群运动。上返过程中，颗粒之间会不断发生碰撞。井身结构对于颗粒之间的碰撞会产生重要影响，环空截面越小，岩屑颗粒的碰撞越激烈。保持钻杆直径不变，选用不同直径的钻头，计算不同井身结构下所需的最小环空气体流速,结果见表1。

从表1可以看出，随着钻头直径增大，有效携岩所需气体最小流速略微增大。同时，与Angel模型计算结果对比可以发现，虽然随着钻头直径增大，修正模型计算得到的所需气体最小流速与Angel模型所采用的定值流速之间的差值越来越小，但由于井筒的环空面积增大，导致两者计算得到的气体体积流量的差值越来越大。

1) 引入最小速度准则对Angel模型进行修正,修正了气体最小速度采用定值而带来的计算误差；引入阻力系数和颗粒群修正系数对Angel模型进行了修正，并考虑了井身结构和环空中岩屑碰撞对气体钻井所需最小气体体积流量的影响。

2) 随着机械钻速增大，岩屑的产生速度不断提高，岩屑在上返过程中发生碰撞，导致钻井所需的最小气体体积流量不断增大。当机械钻速大于一定数值时，所需的最小气体体积流量要大于Angel模型的计算值。

3) 随着岩屑直径增大，实际所需的气体最小环空流速也增大。采用Angel模型计算时如不考虑岩屑直径的影响而简单地假设所需最小气体流速为定值，会对计算结果造成很大误差。